（新教材）2020春人教B版数学必修第三册新素养突破考点突破&素养提升 第二课 向量的数量积与三角恒等变换 WORD版含解析.doc

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。考点突破·素养提升素养一数学运算角度1平面向量的数量积运算【典例1】已知|a|=1,|b|=.(1)若a∥b,求a·b.(2)若a,b的夹角为60°,求|a+b|.(3)若(2a-b)⊥b,求a与b的夹角θ.【解析】(1)若a∥b,则a与b的夹角为0或π.所以a·b=|a||b|cos0=1××1=或a·b=|a||b|·cosπ=-.(2)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos60°+|b|2=1+2×1××+2=3+,所以|a+b|=.(3)若(2a-b)⊥b,则(2a-b)·b=0,即2a·b-b2=0,所以2|a||b|cosθ-|b|2=0,即2×cosθ-2=0,所以cosθ=,又0≤θ≤π,所以θ=.【类题·通】数量积的运算是平面向量的核心内容,利用数量积可以解决以下几个大问题:垂直问题、求模问题、求夹角问题以及求向量及进行数量积运算等.1.垂直问题有关向量的垂直问题,常用数量积的运算性质:a⊥b⇔a·b=0⇔若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.2.夹角问题求向量a,b夹角θ的步骤:(1)求|a|,|b|,a·b;(2)求cosθ=(夹角公式);(3)结合θ的范围[0,π]确定θ的大小.因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值,再结合夹角的范围确定夹角的大小.3.有关向量的模长问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:(1)|a|2=a2=a·a;(2)|a±b|2=a2±2a·b+b2;(3)若a=(x,y),则|a|=.【加练·固】已知c=ma+nb,c=(-2,2),a⊥c,b与c的夹角为π,b·c=-4,|a|=2,求实数m,n的值及a与b的夹角θ.【解析】因为c=(-2,2),所以|c|=4.因为a⊥c,所以a·c=0.因为b·c=|b||c|cosπ=|b|×4×=-4,所以|b|=2.因为c=ma+nb,所以c2=ma·c+nb·c,所以16=n×(-4),所以n=-4.在c=ma+nb两边同乘a,得0=8m-4a·b.①在c=ma+nb两边同乘b,得ma·b=12.②由①②,得m=±.所以a·b=±2,所以cosθ==±.所以θ=或π.角度2求值问题【典例2】1.求值:[2sin50°+sin10°(1+tan10°)]·=________.2.已知cos=,θ∈,则sin=________.【解析】1.原式=·sin80°=2sin50°+2sin10°··cos10°=2[sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)]=2sin(50°+10°)=2×=.答案:2.由题意可得cos2==,cos=-sin2θ=-,即sin2θ=.因为cos=>0,θ∈,所以0<θ<,2θ∈,根据同角三角函数基本关系式,可得cos2θ=,由两角差的正弦公式,可得sin=sin2θcos-cos2θsin=×-×=.答案:【类题·通】1.给角求值问题,主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式等,化非特殊角为特殊角,在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用.2.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和倍角公式解决给值求值问题时,解决的关键是把所求角用已知角表示.其常见题型一般有两种:(1)当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式.(2)当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系,然后应用诱导公式把所求角变成已知角.【加练·固】1.计算:sin50°(1+tan10°)的值.【解析】原式=sin50°=sin50°·=sin50°·=sin50°·=cos40°·==1.2.已知cos+sinα=,求sin.【解析】cos+sinα=cosαcos+sinαsin+sinα=cosα+sinα=sin=.所以sin=,所以sin=sin=-sin=-.角度3给值求角问题【典例3】设α,β为钝角,且sinα=,cosβ=-,则α+β的值为()A.B.C.D.或【解析】选C.因为α,β为钝角,sinα=,cosβ=-,所以cosα=-,sinβ=,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=>0.又α+β∈(π,2π),所以α+β∈,所以α+β=.【类题·通】已知三角函数值求角问题,通常分两步:(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定),确定所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目,结合所给角的范围确定;(2)根据角的范围确定角及角的范围.必要时,可利用值缩小角的范