（新教材）2020春人教B版数学必修第三册新素养突破课时素养评价 十五 向量数量积的运算律 WORD版含解析.doc

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养评价十五向量数量积的运算律(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知|a|=2,b是单位向量,且a与b夹角为60°,则a·(a-b)等于()A.1B.2-C.3D.4-【解析】选C.a·(a-b)=a2-a·b=4-2×1×cos60°=3.2.(2019·宣城高一检测)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.|a-b|===,cos<a,a-b>===,又<a,a-b>∈[0,π],所以<a,a-b>=.【加练·固】若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选C.由(2a+b)·b=0,得2a·b+b2=0,所以2|a||b|cos<a,b>+|b|2=0.所以cos<a,b>=-=-=-,所以<a,b>=120°.3.若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=()A.2B.C.1D.【解析】选B.由题意,得(a+b)·a=0,(2a+b)·b=0,所以|a|2+a·b=0,2a·b+|b|2=0,又|a|=1,所以|b|=.4.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j为相互垂直的单位向量,那么a·b=()A.-15B.-30C.-48D.-63【解析】选D.将两已知等式相加得,2a=-6i+8j,所以a=-3i+4j.同理将两已知等式相减得,b=5i-12j,而i,j是两个互相垂直的单位向量,所以a·b=(-3i+4j)·(5i-12j)=-3×5+4×(-12)=-63.二、填空题(每小题4分,共8分)5.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为________.【解析】设=a,=b,则=a-b,=a+b,而||=|a-b|====2,所以5-2a·b=4,所以a·b=,又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,所以||=,即AC=.答案:6.如图所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则·(-)=________.【解析】因为=+,而=4,所以=,所以=+=+(-)=+,所以·(-)=(+)·(-)=-+·=×12-×12=-.答案:-【加练·固】如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·等于____________.【解析】由题干图可得·=(+)·=·+·.因为AD⊥AB,所以·=0.又因为=,所以·=·=(+)·=0+||2=,所以·=0+=.答案:三、解答题(共26分)7.(12分)已知向量|a|=1,|b|=2.(1)若a与b的夹角为,求|a+2b|.(2)若(2a-b)·(3a+b)=3,求a与b的夹角.【解析】(1)|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=1+4×1×2×cos+4×4=1+4+16=21,所以|a+2b|=.(2)因为(2a-b)·(3a+b)=3,所以6a2-3a·b+2a·b-b2=3,所以6a2-a·b-b2=3,所以6-1×2×cos<a,b>-4=3,所以cos<a,b>=-.因为0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=.【加练·固】已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=,且a·b=.(1)求向量a,b的夹角θ.(2)求|a-b|.【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=,所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=.又|a|=1,所以|b|=.因为a·b=,所以|a|·|b|cosθ=,所以cosθ=,所以向量a,b的夹角θ为45°.(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=,所以|a-b|=.8.(14分)已知a,b满足|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角.(2)求向量a+b在向量b方向上的投影.【解析】(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4a2-4a·b-3b2=61,所以4×16-4×4×3cos<a,b>-3×9=61,所以cos<a,b>=-.因为0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=.(2)a+b在向量b方向上的投影为===|a|cos<a,b>+|b|=4×+3=1.(15分钟·30分)1.(4分)设O为△ABC的外心,OD⊥BC于D,且||=,||=1,则·(-)的值是()A.1B.2C.D.【解析】选A.由O是△ABC的外心及OD⊥BC可知D为边BC的中点,易知=(+),所以·(-)=(+)·(-)=(||2-