北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（理科） WORD版含解析.doc

北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）设a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．b＞c＞a3．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．107．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．[0，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]8．（5分）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则下列结论正确的是（）①f（）=0；②既不是奇函数也不是偶函数；③f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；④存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=．10．（5分）如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a=15，b=10，A=60°，则cosB=．12．（5分）已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是．13．（5分）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围．14．（5分）设集X是实数集R上的子集，如果x0∈R满足：对∀a＞0，都∃x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：①{|n∈Z，n≥0}；②{x|x∈R，x≠0}；③{|n∈Z，n≠0}；④整数集Z其中以0为聚点的集合的序号有（写出所有正确集合的序号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2（cosx﹣sinx）sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．16．（13分）已知数列{an}满足：a1=1，2an+1=2an+1，n∈N+．数列{bn}的前n项和为Sn，Sn=9﹣，n∈N+．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an•bn，n∈N+．求数列{cn}的前n项和Tn．17．（13分）已知函数f（x）=（1+x）2﹣2aln（1+x）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，x∈[0，1]，求函数y=f（x）图象上任意一点处切线斜率k的取值范围．18．（13分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．20．（14分）已知Sn={A|A=（a1，a2，a3，…an）}，ai={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈Sn，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈Sn，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…an），若V∈Sn，求所有d（U，V）之和．北京四中2015届高三上学期期