人教A版（2019）必修第一册第四章《指数函数与对数函数》4-4 对数函数常见题型 WORD版含解析.doc

4.4对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝logau的单调性求解．题型一对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个（2）若函数为对数函数，则（）A．B．C．D．解:（1）①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．（2）由题可知：函数为对数函数所以或，又且所以跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（）①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】形如（且）的函数为对数函数，故③④为对数函数，所以共有个.2．下列函数表达式中，是对数函数的有（）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.3．（全国高一课时练习）若函数是对数函数，_________.【解析】由对数函数的定义可知，，解得．题型二对数函数的解析式或函数值例2（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（）A．y＝log5xB．y＝C．y＝D．y＝log3x（2）（全国高一课前预习）设（且），若，则（）.A．2B．C．D．【解析】（1）设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图像过点M(125，3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.（2）因为（且），，所以，即，解得，所以，所以.跟踪练习1．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（）A．B．C．或D．不确定【解析】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．2．若函数的图像过点，则的值为（）A．B．2C．D．【解析】由题,.题型三对数函数的定义域例3（1）函数的定义域为（）A．B．C．D．（2）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A．B．C．D．（3）若函数的定义域为，则（）A．1B．－1C．2D．无法确定【解析】（1）对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.由，得，所以，所以．（3）函数的定义域为，则的解集为，即，且的根，故.跟踪练习1．函数的定义域为（）A．B．C．D．【解析】要使函数有意义，只需，即，解得或．2．函数的定义域是（）A．B．C．D．【解析】由已知得，解得，所以函数的定义域为3．若函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．【解析】因为函数的定义域为，所以，所以，解得：，所以的定义域为.4.求下列函数的定义域（1）；（2）函数（3）【解析】（1）若要使函数有意义，则，解得或且，所以该函数的定义域为；（2）若要使函数有意义，则，解得，所以该函数的定义域为；（3）若要使函数有意义，则，解得且，，所以该函数的定义域为.