2022版新教材数学必修第二册人教A版学案：8-6-3 平面与平面垂直（一） WORD版含解析.doc

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。8．6.3平面与平面垂直(一)在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．【问题1】怎样刻画笔记本电脑张开程度的大小？【问题2】二面角的平面角是怎样定义的？【问题3】怎样判定两个平面垂直？1．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；(2)概念：(3)记作：二面角α­AB­β；二面角α­l­β；二面角P­AB­Q.2．二面角的平面角(1)定义：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．(2)图形：(3)范围：0°≤α≤180°.3．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作：α⊥β；(2)图示：(3)判定定理：①定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．②符号：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如长方体中任意相邻两个面都是互相垂直的．(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的．(3)通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．定义能否作为判定两个平面垂直的依据？提示：能．定义既是判定也是性质．1.为什么二面角平面角的大小与在二面角棱上的取点无关？2．二面角的平面角确定的平面与二面角的棱什么关系？3．如果一条直线垂直于一个平面，那么经过这条直线的任何一个平面与这个平面什么关系？提示：1.根据等角定理，取不同点时，角都是相等的；2.垂直；3.垂直．观察教材图8.6－28，图中相互垂直的平面有哪些？提示：平面PAC与平面PBC；平面PAB与平面ABC；平面PAC与平面ABC.1．在二面角α­l­β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α­l­β的平面角，则必须具有的条件是()A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β【解析】选D.由二面角的平面角的定义可知．2．如图所示，在三棱锥P­ABC中，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则在三棱锥P­ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．【解析】平面PAB⊥平面PAC，平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.答案：3基础类型二面角平面角的概念及求法(逻辑推理、数学运算)1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝eq\f(1,2)AD，二面角A­BD­C＝________．2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求二面角B­A1C1­B1的正切值．【解析】1.因为AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即为二面角A­BD­C的平面角．在Rt△ACD中AC＝eq\f(1,2)AD，所以∠ADC＝30°.答案：30°2．取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角B­A1C1­B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，所以二面角B­A1C1­B1的正切值为eq\r(2).求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．微提醒：找二面角的平面角可以从与二面角的棱垂直的边入手，根据定义确定平面角．综合类型面面垂直的判定及应用(直观想象、逻辑推理)利用判定定理证明面面垂直【典例】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2证明：平面PAC⊥平面PBC.【证明】由已知得AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(2)，BC＝eq\r(AD2＋（AB－CD）2)＝eq\r(2)，AB＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以B