2022版新教材数学必修第二册人教A版学案：8-6-3 平面与平面垂直（二） WORD版含解析.doc

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。8．6.3平面与平面垂直(二)教室中黑板与地板所在的面相互垂直．同学们喜欢在黑板上画线、写字、画画．【问题1】在黑板上任意画一条直线，该直线与地板面什么关系？【问题2】怎样在黑板上画一条直线与地板面垂直？【问题3】黑板面上和黑板面与地板面交线垂直的直线与地板面什么关系？1．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言2.空间线、面之间的垂直关系若平面α⊥平面β，点A∈α，过点A作直线l⊥β，那么直线l与平面α的关系是什么？提示：直线l在平面α内，即l⊂α.1.若平面α⊥β，对于平面α内的任意一条直线，能否在平面β作无数条直线与平面α垂直？2．如果平面α⊥β，β⊥γ，那么平面α与γ有什么样的位置关系？3．如果平面α与β不垂直，那么在平面α内是不是一定不存在与平面β垂直的直线？提示：1.能；2.位置关系不能确定；3.是．观察教材P161图8.6－34，在例10的条件下，过点C怎样作一条直线与平面PAB垂直？提示：在平面ABC内，过点C作AB的垂线，也可过C点作PB的垂线，即为垂直于平面PAB的直线．1．若平面α⊥平面β，直线a∥平面α，则()A．直线a⊥平面βB．直线a∥平面βC.直线a与平面β相交D．以上都有可能【解析】选D.因为直线a∥平面α，平面α⊥平面β，所以直线a与平面β垂直、相交、平行都有可能．2．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D．相交且垂直【解析】选D.由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．基础类型一与面面垂直相关的位置关系(直观想象、逻辑推理)1．(2021·长春高一检测)已知直线a和平面α、β有如下关系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，则下列命题为真的是()A．①③⇒④B．①④⇒③C.③④⇒①D．②③⇒④2．如图，平面α，β，γ，直线a，b，满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，b⊥γ，判断直线a和b的位置关系．【解析】1.选C.对于A，由α⊥β，a⊥β，可得a∥α或a⊂α，故A错误；对于B，由α⊥β，a∥α，可得a⊂β或a∥β或a与β相交，故B错误；对于C，由a∥α，过a作平面γ与α相交，交线为b，则a∥b，因为a⊥β，所以b⊥β，而b⊂α，可得α⊥β，故C正确；对于D，由α∥β，a⊥β，可得a⊥α，故D错误．2．如图，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ上取一点A，在平面γ内作AB⊥m于B，AC⊥n于C，因为α⊥γ，α∩γ＝m，所以AB⊥α，因为α∩β＝a，所以AB⊥a，同理AC⊥a，又AB∩AC＝A，所以a⊥γ，因为b⊥γ，所以a∥b.关于空间中的垂直关系(1)借助正方体等几何图形中垂直的面、线进行判断，也可以利用教室中的灯管、黑板面等实物代表直线、平面，利用实物之间的位置关系进行判断；(2)结合直线、平面垂直的判定定理、性质定理进行推理论证．基础类型二面面垂直性质定理的应用(逻辑推理)【典例】如图，在六面体ABCDEF中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝eq\f(1,2)CD＝1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.证明：平面BCE⊥平面BDE.【证明】因为AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝eq\f(1,2)CD＝1，所以BD＝BC＝eq\r(2)，CD＝2，所以BC⊥BD，因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，四边形ADEF是正方形，ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD，因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥ED，因为BD，ED⊂平面BDE，BD∩ED＝D，所以BC⊥平面BDE，因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.【备选例题】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.【证明】连接BD，因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形．因为G是AD的中点，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD