理论力学-虚位移原理.ppt

§6–4虚功·理想约束§6-1概述虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并不是充分的（参阅刚化原理）。非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的平衡。约束的作用在于：而虚位移原理则将利用后一种情况，他通过主动力在约束所许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点系的平衡条件。§6-2约束和约束方程二、约束方程约束对质点系运动的限制可以通过质点系中各质点的坐标和速度以及时间的数学方程来表示。这种方程称为约束方程。点M被限制在以固定点O为球心、l为半径的球面上运动。曲柄连杆机构曲面其约束方程的一般形式为1.完整约束和非完整约束非完整约束非完整约束●如果约束方程中不含时间t，这种约束称为定常约束或稳定约束。定常约束3．双面约束和单面约束双面约束单面约束§6-3虚位移·自由度质点或质点系在给定瞬时不破坏约束而为约束所许可的任何微小位移，称为质点或质点系的虚位移。●虚位移仅与约束条件有关，在不破坏约束情况下，具有任意性。而实位移是在一定时间内真正实现的位移，具有确定的方向，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关。例如，一个被约束固定曲面上的质点，它的实际位移只是一个，而虚位移在它的约束面上则有任意多个。在定常约束的情况下，约束性质不随时间而变，因此，实位移只是所有虚位移中的一个。但对非定常约束，实位移不会和某个虚位移相重合。设有质点M被约束在斜面上运动，同时此斜面本身以匀速v作水平直线运动，这里，斜面构成了非定常约束。虚位移与实位移的区别：实位移——用dr表示，其投影用dx，dy，dz表示。等时变分在应用虚位移原理过程中，求出系统各虚位移间的关系是关键，常用方法有：以图曲柄连杆机构为例，由于连杆AB可作平面运动，其速度瞬心为点P。2.解析法对于较复杂的系统，各点的虚位移间关系比较复杂，这时可建立一固定直角坐标系，将系统放在一般位置，写出各点的直角坐标（表示为某些独立参变量的函数），然后进行变分运算，求及各点虚位移的投影。这种确定虚位移间关系的方法称为解析法。求变分，有等时变分一般情况，一个由n质点系在空间的位形用直角坐标来确定需要3n个坐标，即xi，yi，zi（i=1，2,…,n）。如果系统受到有s个完整约束，其约束方程为例如曲柄连杆机构：点M被限制在以固定点O为球心、l为半径的球面上运动。§6-4虚功·理想约束力在虚位移上所做的功称为虚功，记为δW。因为虚位移是假想位移，所以虚功也是假想的概念。如果质点系所受的约束力在任意虚位移上所做虚功之和恒等于零，则这样的约束称为理想约束。这些约束包括固定的或运动着的光滑支撑面、铰链、始终拉紧而不可伸长的软绳、刚性连接，以及作纯滚动刚体所在的支撑面等等。理想约束是大量实际情况的理论模型。§6-5虚位移原理具有双面、定常、理想约束的静止质点系，其平衡的必要和充分条件是：所有主动力在任何虚位移上的虚功之和等于零。必要性证明:由刚体静力学知，此时作用在系统内任一质点Ai上的主动力Fi和约束反力FNi之矢量和必等于零，即满足条件充分性证明：采用反证法。设在条件下质点系并不平衡，则必有些质点（至少一个）上作用有非零的合力FRi=Fi+FNi，由于运动是从静止开始的，故它的实位移dri必与FRi同向，所以FRi将做正功，即确定研究对象：常选定整体为研究对象；例题6-1曲柄连杆机构静止在如图所示位置上，已知角度φ和ψ。不计机构自身重量，求平衡时主动力FA和FB的大小应满足的关系。以δrA和δrB分别代表主动力FA和FB作用点的虚位移，如图所示。例题6-2连杆AB长为l，杆重和滑道、铰链上的摩擦均忽略不计。求在图示位置平衡时，主动力F1和F2之间的关系。系统为理想约束系统。约束方程：例题6-3已知图所示结构，各杆都以光滑铰链连接，且有AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在点G作用一铅直方向的力F，求支座B的水平约束反力FBx。例题6-3此题可用虚位移原理来求解。用约束力FBx代替水平约束，并将FBx当作主动力。如果此题在G，C二点之间再连上一根弹簧，弹簧刚度为k，且在图示瞬时弹簧已有伸长量δ0。此弹簧对G，C二点的拉力FG，FC为系统内力，如图所示。消去δθ，解得有弹簧时，B处的水平约束反力为解：2.求铰B的垂直约束力。解除铰B的垂直约束，换成垂直辊轴再加上垂直约束力FBy。给杆AC一微小转角δθ，杆BC的转动中心在A，可得有关虚位移为图片例题6-5如图所示为连续梁。载荷F1=800N，F2=600N，F3=1000N，尺寸a=2m，b=3m，求固定端A的约束力。例题6-5用几何法求各点的虚位移。由图可知：因广义坐标的独立变分δφ为任意微量例