2019_2020学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.doc

-5-第2课时函数的最大（小）值A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知函数f(x)＝eq\f(2x－1)(x∈[26])则函数的最大值为()A．0.4B．1C．2D．2.5答案C解析∵函数f(x)＝eq\f(2x－1)在[26]上单调递减∴f(x)max＝f(2)＝eq\f(22－1)＝2.2．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋6x∈[12]x＋7x∈[－11))则f(x)的最大值、最小值分别为()A．106B．108C．86D．以上都不对答案A解析当1≤x≤2时8≤2x＋6≤10当－1≤x<1时6≤x＋7＜8.∴f(x)min＝f(－1)＝6f(x)max＝f(2)＝10.故选A.3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0m]上有最大值3最小值2则m的取值范围是()A．[1＋∞)B．[02]C．(－∞2]D．[12]答案D解析由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知当x＝1时y的最小值为2当y＝3时x2－2x＋3＝3解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知当m∈[12]时能保证y的最大值为3最小值为2.4．当0≤x≤2时a＜－x2＋2x恒成立则实数a的取值范围是()A．(－∞1]B．(－∞0]C．(－∞0)D．(0＋∞)答案C解析令f(x)＝－x2＋2x则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[02]∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋ax∈[01]若f(x)有最小值－2则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.又因为函数图象开口向下所以f(x)在[01]上单调递增．又因为f(x)min＝－2所以f(0)＝－2即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.二、填空题6．设函数y＝f(x)的定义域为[－46]且在区间[－4－2]上单调递减在区间[－26]上单调递增且f(－4)<f(6)则函数f(x)的最小值是________最大值是________．答案f(－2)f(6)解析函数y＝f(x)在[－46]上的图象的变化趋势大致如图所示观察可知f(x)min＝f(－2)．又由题意可知f(－4)<f(6)故f(x)max＝f(6)．7．函数f(x)＝eq\f(1x)在[1b](b>1)上的最小值是eq\f(14)则b＝________.答案4解析因为f(x)＝eq\f(1x)在[1b]上单调递减所以f(x)在[1b]上的最小值为f(b)＝eq\f(1b)＝eq\f(14)所以b＝4.8．在如图所示的锐角三角形空地中欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)则其边长x为______(m)．答案20解析设矩形花园的宽为ym则eq\f(x40)＝eq\f(40－y40)即y＝40－x矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400当x＝20时面积最大．三、解答题9．求下列函数的最值．(1)函数y＝x＋eq\r(x－1)(x≥1)的最小值；(2)函数y＝eq\f(2x2－2x＋3x2－x＋1)的最大值．解(1)解法一：令t＝eq\r(x－1)且t≥0则x＝t2＋1所以原函数变为y＝t2＋1＋tt≥0.配方得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(12)))2＋eq\f(34)又因为t≥0所以y≥eq\f(14)＋eq\f(34)＝1.故函数y＝x＋eq\r(x－1)的最小值为1.解法二：因为函数y＝x和y＝eq\r(x－1)(x≥1)均为增函数故函数y＝x＋eq\r(x－1)(x≥1)为增函数所以当x＝1时y取得最小值即ymin＝1.(2)y＝eq\f(2x2－2x＋3x2－x＋1)＝eq\f(2x2－x＋1＋1x2－x＋1)＝2＋eq\f(1x2－x＋1)＝2＋eq\f(1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(12)))2＋\f(34)).因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(12)))2＋eq\f(34)≥eq\f(34)所以2<2＋eq\f(1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(12)))2＋\f(34