与数列有关的不定方程的整数解问题初探.pdf

2015年第7期中学数学研究·27·

思想．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少中的应用[J]．数学教学研究，2012，(8)．
直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家[2]徐迅．浅析数学形结合思想在高考解题中的应用[J]．
万事休”．因此，在解题时，若能巧妙地运用数形结数学学习与研究，2010，(1)．
[3]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(实验)
合思想，“由形思数”，“以数辅形”，往往能在短时间
[M]．北京：人民教育出版社，2003．
简化解题过程，培养思维的灵活性，提升解题能力．

参考文献

[1]许丽英，李碧荣．浅析数学形结合思想在高考数学解题

与数列有关的不定方程的整数解问题初探

江苏省丹阳市第五中学(212309)康娟

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数(1)当k=60时，Sk=60a+30×59≤2000，
学的基础，在高考中占有极其重要的地位．其中有一解得a≤3，o'o0=1或2或3时，S=1830或1890
类以数列为载体，综合运用数列与不定方程知识解或1950；
决问题，使数列与不定方程的整数解问题成为一个(2)当k=61时，S=61a+30×61≤2000，
新的热点．这类问题对数学思维能力和探索能力提可得a≤2，．．．a=1或2时，S=1891或1952；
出了更高的要求，因此在近年来的各省市高考模拟(3)当k=62时，S=62a+31×61≤2000，
卷中，这类问题屡见不鲜．可得a≤1，．’．a=1，S：1953．所以n可取6个值
本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问1830，1890，1950，1891，1952，1953．
题的解法作初步的探讨，以管中窥豹之“一斑”，得点评：本题先利用不等关系缩小了未知数的范
洞若观火之“秋毫”．围，然后对所有可能的情形逐一进行了探讨，揭开了
1．分类逐一探讨。道尽“不定”悬念“不定”的神秘面纱，道尽了“不定”的悬念．
在不具备直接求未知数的条件时，利用分类讨
2．熟用数论常识，化解“不定”难点
论的方法对可能的情况进行逐一讨论，最终求得未
2．1利用数或式的分解
知数的值，是解决数列中不定方程问题的常用策略．
先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积
例1已知正整数不超过2000，且能表示成
(多项式分解为若干个因式的乘积)，再利用奇偶性
不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数
进行讨论．

．

是——
例2由连续正整数组成的数列之和为1000，
分析：设连续正整数的首项为a，项数为k，首项
试求出所有这样的数列．
为a的连续k个正整数之和为S，则n=S=ka+
分析：设数列的首项为a，共有n项，由数列n项

，等式中，。，k均未知，可看作不定方程，
之和为1000得如下关于0和n的不定方程·(2a
由题设条件显然有a≥1、a∈Z，且k≥60，考虑先
+n一1)=1000，可考虑先将1000分解为质因数的
运用n个正整数的和不超过2000这个条件，缩小a
乘积，再对左边的数进行奇偶性讨论．
或k的探求范围．
解：将不定方程·(2a+n一1)：1000化为
解：S：k。+≥k+：二
n·(20+n一1)=2000=2·5．因为2a一1是个
生．．S≤2000，得生≤2000
，．，解得60
奇数，故凡与2o+凡一1的奇偶性相反，由上式知，2
≤k≤62，故k最多可取三个值，下面依次进行讨只属于n与2n+n一1中的一个．又因为n<2a+n

论：一1，从而n的值只能为1，5，5，2．这里n不能取5。，
·28·中学数学研究2015第7期

否则2a+n一1=2=16>n=5相矛盾．将n与时6=3或4或12．
20+n一1的可能的取值列表如下：点评：由于6，2+t，2一m+1均为整数，对等

，’‘
n155。2式6=的整除性讨论是本题的关键，而
2a+凡一12．52．52．55。
恰是上述整除性分析成功化解了“不定”的难点．
n10001982855
3．妙用不等关系，缩小“不定”空间
由上表可知，所求数列共有3个：不定方程的整数解较难确定时，可利用不等式
口=198，n=5时，数歹4为198，199，200，201，前后夹逼得到整数解．
202；0=28，n：5：25时，数列为28，29，30，201，例4各项为实数的等差数列的公差为4，其首

⋯
，52；0=55，n=2=16时，数列为55，56，57，⋯，项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列
70．至多有项．
点评：此题为比较典型的二元不定方程，其解法分析：此等差数列的首项和项数均未知，要确定
也是不定方程的典型解法，先将右边的数分解为质n的最大值，只能利用首项的平方与其余各项之和
因数的乘积，再利用左边两个数奇偶性相反且具有不超过10