数列中不定方程的整数解的求解策略.pdf

·辅教导学·数学通讯——2O14年第7、8期(上半月)59

=Zsin0总结高考中的数学选择题一般是容易题或
中档题，1至2道属于较难题．求解高考选择题，既
c。s一
专sin一2si舢要用到各类常规题的解题思想，也要注意选择题
瓜os0=5sin0(0<<号)，的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有
一个是正确的，解题突出一个“选”字，同学们要善

-qCOS2+sin2一1联立解得in0一，所于利用直接法与间接法筛选答案，基本策略是“直
Z4／接法为主，间接法为辅，综合使用直接法和问接

以=一D)．法，避免小题大作浪费时间”．如果选择题中含有
特殊的信息，如特殊数字、特殊方程、特殊函数、特
解析2利用间接方法．已知L。、L。间距离等
殊点、特殊位置、特殊图形，或含有其它重要信息，
于3，A∈L，CEL。，必有AC>3，<3，排除包括选项与条件、选项与选项之间的逻辑联系，能
够将正确选项快速准确地找出来，此时使用问接
(C)．
法是高效的．然而，经过命题者的精心设计，一份
分析(A)，AB一2，sinLABD一一试卷的全部选择题中，能仅用间接法找到正确选
项的题目数量相对较少，多数要用求解对照法(直
譬b’c0sABD=b．SinLCBD一2Lb一譬J，接法)．使用直接法时，要认真审题，探寻合理简明
的求解途径，防止“小题大做”．面对一道选择题，
cosLCBD一√6
-F-．sinLABC—sin(LABD+
认真阅读审题，包括分析选项，第一念头是能用间

LCBD)．．．．一4~+,／-f-f≠接法吗?如果不能用间接法快速解决，还是用直接
，LABC≠60。，
b法或两者联用为好．
排除(A)；
同弹排除(B)．于是选(D)．(收稿日期：2014—03—20)

数列中不定方程的整数解的求解策略

丁称兴

(江苏省溧水高级中学，2112oo)

数列既是高中数学学科知识的主干内容，又体现了数学高考“以能力立意”的指导思想．如
是进一步学习高等数学的基础，历来是高考重点2008年高考江苏卷第19题、2009年高考江苏卷第
考查的内容之一．高考关于数列的命题大致可分l7题都是以数列为载体，综合运用数列与不定方
为2种类型：(1)考查数列本身的有关知识，如等程知识解决问题，使数列与不定方程的整数解问
差数列与等比数列的概念、性质、通项公式和数列题成为高考命题的一个新热点．这类问题同时对
的求和公式、递推关系等；(2)考查数列与其他知学生的思维能力与探究能力有较高的要求，带有
识交汇的问题，如数列与函数、方程、不等式、几何很大的区分度，因此在近年来的各省市高考模拟
等的结合及数列的实际应用等．纵观江苏近几年卷中屡见不鲜．本文将从以下几个方面浅谈与数
的数学高考数列题，尽管题型有变化，但从数列基列有关的不定方程的整数解的求解策略．
础知识人手，注重对数列知识的理解和应用，注重1．妙用不等关系。缩小范围
对数学思想、方法和能力的考查没有变，这也充分可根据条件将其中一个未知量的范围进行缩
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小，从而求出这个未知量的整数解，再进一步求出{a)是公差不为零的等差数列，S为其前，项和，
其他未知量的整数解．满足a；+a；一a；+ai，S一7．
例1(2009年苏北四市调研)已知数列{a)(1)求数列{)的通项公式及前n项和S；

的通项公式为口=，是否存在正整数，(2)试求所有的正整数，使~rnam+I．为数列
T1

(1<<”)，使得a。，a，口成等比数列?若存{a}中的项．
在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．解(1)数列{a}的通项公式为a一2n一7，
解由题意得：n-一1
，a==：，n=前项和为S=。一6．

(2)解法1a—ma—~r+l一，设

，若al，a，口成等比数列，则)=
十上二—广上
2一3一￡，则盟：二一￡+旦一
÷×南卿一6n+3．d2r￡
6，所以t为8的约数．又因为￡：2m一3(∈N)
解法1由举一得，为奇数，故t可取的值为士1．
二垒±一旦(两边同时取倒数，移项可当t一1时，m一2，t十一O一6—3，2×5—7

—3是数列中的第5项；
得)．因为旦>0
，所以一2m。+4+1>o，从而
当t=一1时，”z：1，t十旦一6=一15，由数

1一<，，2<1+，又∈N，且>1，所以列()的通项公式为口一2n一7，知数列中的最

一2，此时=12．小项为一5，不符合．
故可知：当且仅当一2，n一12可使数列解法2因为：盟三_=_
口，2口2
{a)中的a，n，a成等比数列．
：卅。一6+为数列()中的项，故一旦_为整
解法2因为一__1<百1，故
博毋O十IO
ul数，又由(1)知：口2=2(m+2)一7=2m一3为
奇数，所以Ⅱ