数列中不定方程整数解问题的求解策略.pdf

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①一【垡堕二呈L；掣【霎鎏}二删一(2m一3)解题的准确率．即坠!生丛一垒二生掣数列中不定方程整数解问题的求鲳笨略{i：：i：二：三：；，解得m一·2，行一··．⋯⋯7f一6+孚，得￡只能取±1．，例1◆例2—6+历与②为数列{口n)中的项，所以芴与★一、整数分离法★二、因式分解法因为堕坠盐一生堕二至墅娑二堕江苏省梁丰高级中学刘显伟正整数m，使得坠生盟为数列{口。}中的项．霞惑一2挖一2，其前挖项和为s。，且满足÷口三一s。鬻析，2(咒一1)，于是由÷n毛一s。一11，可得魇惹不定方程的整数解问题，是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的解为整数的问题．此类问题在近几年各省市的高考模拟试题中，常与数列结合起来考查，是热门问题．本文就求解这类问题的常用方法与策略初步探讨如下．首先逆用分式的加减法，将复杂分式拆成一个整式(数)与一个分子为常数的分式的和的形式，然后利用整除的性质，通过对简单分式的分析来解决问题．这种方法是处理含有分式的不定方程的整数解问题的一种有效途径．(2009年江苏卷改编)已知数列{口。)的通项公式为口。一2咒一7，试求所有的懈析为整数，又2m一3为奇数，且为8的约数，所以2，，l一3一±1，解得m一1或2．经检验，符合题意的只有m=2．由①式化得②式的过程，即要将分子配凑成关于2m一3的二次式，这个过程容易出错．此时，若能对分母整体换元，即令2仇一3一￡，再用分母表示分子，则可提高当不定方程容易化为一边是两(或多)个一次因式的乘积、另一边是一个整数的形式时，通常用因式分解法解决不定方程的整数解问题．已知数列{口。)的通项公式为口。一11，求m，他的值．由口。一2咒一2，可得S。一此时，尝试将左边因式分解为两个整式乘积的形式，而在右边保留一个整数．由(*)式，可得(2m一2)2一(4722—472+1)一43，即(2m一2)2一(2咒一1)2—43，所因为m，以∈N’，故2优+2，2—3>2m一27z一1，2m+2行一3>o，又43是质数，所以运用此法解决不定方程的整数解问题时，对分解所得两个因式的大小、正考题探究W以(2m+2咒一3)(2m一2n一1)一43．新高g数学二仇一6厶优一0(2m一2)2—4(咒2一挖)一44(*)．1INewUniVersityEntranceExamination“m+2Ⅱ卅+2厶7H“卅+2on‘
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厂(瓣)，令6。一口。s。，数列{亡}的前，z项2．塑±掣．式、求解不等式'由1一譬<m<1+譬，又m=爹一号(*)来求解．得多，户较大时，一定有琴<÷，怎么证明呢?当夕≥2时，口，+，一n，一互％害掣一号一(琴一号)一等者<o，所以{口，)(户≥2)为一3，符合题意；当户≥3时，琴一号≤号笋一◆例5196。，l曲，，196。成等差数列，于是磐一÷+景．(1一万b)<÷；(3)m一2，行一16．尝试构造数列(或函数){口，)：以，一磐一专<o，所以方程(*)无正整数解·1．(1)n。=3n一2，s。一3”+1；(2)L=÷·一丽籍知Tt一{，L5丽南，L意知(磊写j)2一÷×磊轩，参照例4，尝试利用(5一d+号)(5+d+3口)=64．由口t+6-，口。+6s∈(为塑±专』亘)时，口。最大．★五、活用数列(函数)的性质注意到1<户<q，尝试将上式转化成昌2磊备，由题一咒一1，设196。=竺字，试问是否存在正整数舞斯5一d，6l一号，口3—5+d，6。一3q·由题÷(夕≥2)，通过研究{口，)的单调性来求解．使得T。，L，L成等比数列?若存在，求出∈N’，m>1，“夹逼”得到未知数优的整数解．“夹逼”法是不等式分析法的重要体现之一．请同学们尝试利用“夹逼”法再次求解例2．数列是一类特殊的函数，因此涉及数列的不定方程问题，经过适当的转化，可将方程的两边分别看做以某一变量为主元的函数，通过分别研究这两个函数的性质，达到求解的目的．已知数列{口。)的通项公式为n。户，q(其中1<p<g)，使得6。，6p，6。成等比数列?若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，请说明理由．若6。，6，，6。成等比数列，则此时等式左边为正数，那么右边也是正数吗?直观上，指数增长比线性(一次)增长快递减数列．当声=2时，代入方程(*)，解得口综上，存在唯一满足条件的数组(户，q)一(2，3)，使得6。，6，，6。成等比数列．1．已知函数厂(z)一z3，在等差数列{口。)中，口3—7，nl+n2+口3—12，并记S。一和为T。．(1)求口。和S。；(2)求证：L<÷；(3)是否存在正整数m，，2，且1<优<竹，m，咒的值，若不存在，说明理由．2．已知数列{口。)是等差数列，n。+口：+口。一15，数列{6。}是等比数列，6。6。6。一27．若n。+61，口2+6