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一次不定方程（组）及方程的整数解问题
【写在前面】
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现.对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.
【本讲重点】
求一次不定方程（组）的整数解
【知识梳理】
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.
重要定理：
设a、b、c、d为整数，则不定方程有：
定理1若且d不能整除c，则不定方程没有整数解；
定理2若是不定方程且的一组整数解（称为特解），则（t为整数）是方程的全部整数解（称为通解）.（其中,且d能整除c）.
定理3若是不定方程，的特解，则是方程的一个特解.（其中,且d能整除c）.
求整系数不定方程的正整数解，通常有以下步骤：
判断有无整数解；
求出一个特解；
写出通解；
有整数t同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.
解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：
（1）分离整系数法；（2）穷举法；（3）因式分解法；（4）配方法；
（5）整数的整除性；（6）奇偶分析；（7）不等式分析；（8）乘法公式.

【学法指导】
【例1】求下列不定方程的整数解（1）；（2）.
【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.
【解答】（1）原方程变形为：，观察得到是的一组整数解（特解），
根据定理2，是原方程的所有整数解.
（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，
∴根据定理1，原方程的无整数解.
【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解.求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.
【实践】求下列不定方程的整数解（1）；（2）.
答案：（1）无整数解；（2）
【例2】求方程的所有正整数解.
【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x,再将含y的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0，然后再求x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.
【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.
由原方程可得，
由此可观察出一组特解为x0=25，y0=2.
∴方程的通解为.
其中∴∴∴
代入通解可得原方程的正整数解为
【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法.这样就容易找出一组整数解来.
【实践】求方程的正整数解.答案：x=4,y=3.

【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.
【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.
【解答】设需要大客车x辆，小客车y辆，根据题意可列方程，即.
又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解.易知是一个特解，通解为
由题意可知解得相应地
答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.
【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.
【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？
答案：7

【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.
【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].
【解答】设此人生日的月份数为x,日期数y.根据题意可列方程31x+12y=347.
〈方法一〉〈方法二〉
特解：

答：此人的生日为5月16日.
【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解.其中方法二是利用了同余的知识.
【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的，求一切这样三位数的和.答案：432

【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n满足，则m的最大值为.
【分析】把m用含有n的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m的最大值.
【解答】∵，∴，
由题意可得，n≠8，∴，
∵m,n为正整数，∴当n=9时，m有最大值为75.
【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.
【实践】(北京市数学竞赛题)有