（浙江专版）高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第12节 导数与函数的极值、最值教师用书-人教版高三全册数学试题.doc

第十二节导数与函数的极值、最值

1．函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
2．函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值一定比极小值大．()
(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()
(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()
[答案](1)×(2)×(3)√(4)×
2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2­12­1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()

图2­12­1
A．1 B．2
C．3 D．4
A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
()
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
C[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．
当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，
则当x＝9时，y有最大值．
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()【导学号：51062084】
A．－4 B．－2
C．4 D．2
D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．
∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]
5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．
8[y′＝6x2－4x，令y′＝0，
得x＝0或x＝eq\f(2,3).
∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝－eq\f(8,27)，
f(2)＝8，∴最大值为8.]

利用导数研究函数的极值问题
eq\a\vs4\al(☞)角度1根据函数图象判断极值
设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图2­12­2所示，则下列结论中一定成立的是()

图2­12­2
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]
eq\a\vs4\al(☞)角度2求函数的极值
求函数f(x)＝x－alnx(a∈R)的极值．
[解]由f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)，x＞0知：
(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；6分
(2)当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，10分
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，