（浙江专版）高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第10节 变化率与导数、导数的计算教师用书-人教版高三全册数学试题.doc

第十节变化率与导数、导数的计算

1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0))，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．()
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．()
(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.()
[答案](1)×(2)×(3)√(4)×
2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()
A.eq\f(19,4) B.eq\f(17,4)
C.eq\f(15,4) D.eq\f(13,4)
D[由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－eq\f(3,t2)，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－eq\f(3,22)＝eq\f(13,4).]
3．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
3[因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.]
4．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
5x＋y＋2＝0[∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0))＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.]
5．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.【导学号：51062072】
1[∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.]

导数的计算求下列函数的导数：
(1)y＝exlnx；
(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；
(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；
(4)y＝ln(2x－9)．
[解](1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)