（浙江专版）高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值教师用书-人教版高三全册数学试题.doc

第二节函数的单调性与最值

1．增函数、减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：
(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)＜f(x2)；
(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)＞f(x2)．
2．单调性、单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
3．函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．()
(2)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()
(3)函数y＝|x|是R上的增函数．()
(4)所有的单调函数都有最值．()
[答案](1)√(2)×(3)×(4)×
2．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是()
A．y＝eq\f(1,1－x)
B．y＝cosx
C．y＝ln(x＋1)
D．y＝2－x
D[选项A中，y＝eq\f(1,1－x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝eq\f(1,1－x)在(－1,1)上为增函数；
选项B中，y＝cosx在(－1,1)上先增后减；
选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；
选项D中，y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．]
3．(教材改编)已知函数f(x)＝eq\f(2,x－1)，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
2eq\f(2,5)[可判断函数f(x)＝eq\f(2,x－1)在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝eq\f(2,5).]
4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________.
【导学号：51062019】
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))[由题意知2k＋1＜0，得k＜－eq\f(1,2).]
5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.
[1,3]8[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]

函数单调性的判断(1)函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________．
(2)试讨论函数f(x)＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的单调性．
(1)(－∞，－1)[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，
t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]
(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(k,x2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(k,x1)))＝(x2－x1)＋keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－\f(1,x1)))＝(x2－x1)eq\f(x1x2－k,x1x2).2分
因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.
故当x1，x2∈(eq\r(k)，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，
即函数在(eq\r(k)，＋∞)上单调递增.6分
当x1，x2∈(0，eq\r(k))时，f(x1)＞f(x2)，
即函数在(0，eq\r(k))上单调递减．
考虑到函数f(x)＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞