高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值分层演练 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

第3讲导数与函数的极值、最值

1．函数y＝xex的最小值是()
A．－1 B．－e
C．－eq\f(1,e) D．不存在
解析：选C.因为y＝x·ex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，
当x∈(－∞，－1)时，y′＜0，当x∈(－1，＋∞)时，y′＞0，所以当x＝－1时，ymin＝(－1)e－1＝－eq\f(1,e).
2．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()
A．12cm3 B．72cm3
C．144cm3 D．160cm3
解析：选C.设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm，
则x∈(0，5)，y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x，所以y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或eq\f(20,3)(舍去)，
所以ymax＝6×12×2＝144(cm3)．
3．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是()
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
解析：选D.由题意得x∈R，y′＝1－eq\f(1,1＋x2)·(1＋x2)′＝1－eq\f(2x,1＋x2)＝eq\f(（x－1）2,1＋x2)≥0，所以函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．
4．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()

A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
解析：选C.设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1、x2、x3、x4.
当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.
5．若函数f(x)＝x3－3ax在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为()
A．(1，4] B．[2，4]
C．[1，4) D．[1，2]
解析：选C.因为f′(x)＝3(x2－a)，所以当a≤0时，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增，f(x)没有极值点，不符合题意；当a>0时，令f′(x)＝0得x＝±eq\r(a)，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示：

x(－∞，－eq\r(a))－eq\r(a)(－eq\r(a)，eq\r(a))eq\r(a)(eq\r(a)，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值
因为函数f(x)在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(a)<2，,－\r(a)≤－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(a)>－1，,2≤\r(a)，))解得1≤a<4.选C.
6．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________处取得极小值．
解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表得

x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以在x＝2处取得极小值．
答案：2
7．(2019·湖南郴州高三模拟)已知奇函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(ex,x)－1（x＞0），,h（x）（x＜0），))则函数h(x)的最大值为______．
解析：先求出x＞0时，f(x)＝eq\f(ex,x)－1的最小值．当x＞0时，f′(x)＝eq\f(ex（x－1）,x2)，所以x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增，所以x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，所以由已知条件得h(x)的最大值为1－e.
答案：1－e
8．已知函数f(x)＝lnx－eq\f(m,x)(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝______．
解析：f′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(m,x2)＝eq\f(x＋m,x2)(x＞0)，
当m＞0时，f′(x)＞0，f(x)在区间[1，e]上为增函数，f(x)有最小值f(1)＝－m＝4，
得m＝－4，与m＞0矛盾．
当m＜0时，若－m＜1即m＞－1，f(x)在区间[1，e]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，
得m＝－4，与m＞－1矛盾；
若－m∈[1，e]，即－e≤m≤－1，
f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，
解得m＝－e3，与－e≤m≤－1矛盾；