高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值高效演练分层突破 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

第3讲导数与函数的极值、最值

[基础题组练]
1．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是()
A．25，－2 B．50，14
C．50，－2 D．50，－14
解析：选C.因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0，2]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.
2．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))内单调递增；
②当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值；
③函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增；
④当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值．
则上述判断正确的是()
A．①② B．②③
C．①②④ D．③④
解析：选B.对于①，函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))内有增有减，故①不正确；
对于②，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故②正确；
对于③，当x∈(－2，2)时，恒有f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故③正确；
对于④，当x＝3时，f′(x)≠0，故④不正确．
3．已知函数f(x)＝2f′(1)lnx－x，则f(x)的极大值为()
A．2 B．2ln2－2
C．e D．2－e
解析：选B.函数f(x)定义域(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(2f′（1）,x)－1，所以f′(1)＝1，f(x)＝2lnx－x，令f′(x)＝eq\f(2,x)－1＝0，解得x＝2.当0<x<2时，f′(x)>0，当x>2时，f′(x)<0，所以当x＝2时函数取得极大值，极大值为2ln2－2.
4．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为()
A．120000cm3 B．128000cm3
C．150000cm3 D．158000cm3
解析：选B.设水箱底长为xcm，则高为eq\f(120－x,2)cm.
由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(120－x,2)＞0，,x＞0，))得0＜x＜120.
设容器的容积为ycm3，则有y＝－eq\f(1,2)x3＋60x2.
求导数，有y′＝－eq\f(3,2)x2＋120x.
令y′＝0，解得x＝80(x＝0舍去)．
当x∈(0，80)时，y′＞0；当x∈(80，120)时，y′＜0.
因此，x＝80是函数y＝－eq\f(1,2)x3＋60x2的极大值点，也是最大值点，
此时y＝128000.故选B.
5．函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是()
A．0 B．1
C．2 D．无数
解析：选A.函数定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x＋eq\f(1,x)－2＝eq\f(6x2－2x＋1,x)，
由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0，
所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．
6．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝处取得极小值．
解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表

x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以在x＝2处取得极小值．
答案：2
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为6，则实数a＝；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，结合题意f′(1)＝3a＋9＝6，解得a＝－1；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－12（a＋6）>0，,f′（－1）>0，,f′（3）>0，))解得－eq\f(33,7)<a<－3.
答案：－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,7)，－3))
8．(2020·甘肃兰州一中期末改编)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则f′(－2)＝，f(x)的