高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值教案 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学教案.doc

第3讲导数与函数的极值、最值
基础知识整合

1．导数与函数的极值
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值eq\o(□,\s\up1(01))都小，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧eq\o(□,\s\up1(02))f′(x)<0，右侧eq\o(□,\s\up1(03))f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值；
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值eq\o(□,\s\up1(04))都大，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧eq\o(□,\s\up1(05))f′(x)＞0，右侧eq\o(□,\s\up1(06))f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
2．导数与函数的最值
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条eq\o(□,\s\up1(07))连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的eq\o(□,\s\up1(08))极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与eq\o(□,\s\up1(09))端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中eq\o(□,\s\up1(10))最大的一个是最大值，eq\o(□,\s\up1(11))最小的一个是最小值．

1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．

1．函数f(x)＝eq\f(4,3)x3－6x2＋8x的极值点是()
A．x＝1 B．x＝－2
C．x＝－2和x＝1 D．x＝1和x＝2
答案D
解析f′(x)＝4x2－12x＋8＝4(x－2)(x－1)，则结合列表可得函数f(x)的极值点为x＝1和x＝2.故选D.
2．(2019·黑龙江模拟)设函数f(x)＝xex，则()
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
答案D
解析f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
令f′(x)＝0，则x＝－1.
当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，
所以x＝－1为f(x)的极小值点．
3．(2019·岳阳模拟)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为()
A．1－e B．－1
C．－e D．0
答案B
解析因为f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln1－1＝－1.故选B.
4．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是()
A．m>0 B．m<0
C．m>1 D．m<1
答案B
解析y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()
A．－37 B．－29
C．－5 D．以上都不对
答案A
解析∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴f(x)在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，
∴x＝0为极大值点，也为最大值点，
∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值是－37.故选A.

6．(2019·宁夏中卫市模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：①－3是函数y＝f(x)的极小值点；②－1是函数y＝f(x)的极小值点；③y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率小于零；④y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增．则正确命题的序号是()
A．①④ B．①②
C．②③ D．③④
答案A
解析由图可知x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3,1)时f′(x)>0，∴－3是f(x)的极小值点，①正确；又x∈(－3，1)时f′(x)≥0，∴f(x)在区间(－3,1)上单调递增，故②不正确，④正确．∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率大于0.
∴③不正确．故选A.
核心考向突破
考向一导数与函数的极值
角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(1))知图判断函数极值