高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.2 函数的单调性与最值教学案 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学教学案.docx

§2.2函数的单调性与最值
最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.

1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值
概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示对∀x1，x2∈D，x1≠x2，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在D上是增函数．减函数类似．
2．写出函数y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增区间．
提示(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)．

题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)
(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)
(3)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)
(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．(×)
题组二教材改编
2.如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是()

A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数
B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2
C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3
D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1<t<2
答案C
3．函数y＝eq\f(2,x－1)在[2,3]上的最大值是______．
答案2
4．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
答案(－∞，2]
解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.
题组三易错自纠
5．函数f(x)＝的单调增区间是________；f(x)的值域是________．
答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))[3，＋∞)
6．函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．
答案[－1,1)
解析由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2，,－2≤2a≤2，,a＋1>2a，))
解得－1≤a<1.

确定函数的单调性

命题点1求具体函数的单调区间
例1(1)(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案D
解析由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．
∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
故选D.
(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
答案[0,1)
解析由题意知g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1，))该函数图象如图所示，其单调