高考数学一轮复习 第二章 函数概念及基本初等函数Ⅰ第2节 函数的单调性与最值教学案（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学教学案.doc

第2节函数的单调性与最值
考试要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[常用结论与微点提醒]
1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的单调性相反.
3.“对勾函数”y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的单调增区间为(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)；单调减区间是[－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a)].
诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()
(2)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()
(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.()
(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()
解析(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.
(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是R.
答案(1)√(2)×(3)×(4)×

2.(老教材必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()
A.y＝xeq\s\up6(\f(1,2)) B.y＝2－x
C.y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x D.y＝eq\f(1,x)
解析函数y＝xeq\f(1,2)在(0，+∞)上是增函数，函数y＝2－x，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x，y＝eq\f(1,x)在(0，+∞)上均是减函数.
答案A
3.(新教材必修第一册P81例5改编)函数y＝eq\f(x,x－1)在区间[2，3]上的最大值是________.
解析函数y＝eq\f(x,x－1)＝1＋eq\f(1,x－1)在[2，3]上递减，
当x＝2时，y＝eq\f(x,x－1)取得最大值eq\f(2,2－1)＝2.
答案2

4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()
A.(－∞，－2) B.(－∞，1)
C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)
解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数.
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间.
∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).
答案D
5.(2020·新乡模拟)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________.
解析由条件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2，,－2≤2a≤2，,a＋1>2a，))解得－1≤a<1.
答案[－1，1)
6.(2020·青岛二中月考)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为________.
解析当x≥1时，函数f(x)＝eq\f(1,x)为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值