高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 2.2 函数的单调性与最值教学案 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学教学案.docx

15§2.2函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体考查函数的单调性与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查题型既有选择、填空题又有解答题.1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地设函数f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1x2当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I使得f(x0)＝M(1)对于任意的x∈I都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时你还知道哪些等价结论？提示对∀x1x2∈Dx1≠x2eq\f(fx1－fx2x1－x2)>0⇔f(x)在D上是增函数；对∀x1x2∈Dx1≠x2(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在D上是增函数．减函数类似．2．写出函数y＝x＋eq\f(ax)(a>0)的增区间．提示(－∞－eq\r(a)]和[eq\r(a)＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)<f(3)则函数f(x)在R上为增函数．(×)(2)函数y＝f(x)在[1＋∞)上是增函数则函数的单调递增区间是[1＋∞)．(×)(3)函数y＝eq\f(1x)的单调递减区间是(－∞0)∪(0＋∞)．(×)(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．(×)题组二教材改编2.如图是函数y＝f(x)x∈[－43]的图象则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4－1]上是减函数在[－13]上是增函数B．f(x)在区间(－13)上的最大值为3最小值为－2C．f(x)在[－41]上有最小值－2有最大值3D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1<t<2答案C3．函数y＝eq\f(2x－1)在[23]上的最大值是______．答案24．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2＋∞)上是增函数则实数m的取值范围是________．答案(－∞2]解析由题意知[2＋∞)⊆[m＋∞)∴m≤2.题组三易错自纠5．函数f(x)＝的单调增区间是________；f(x)的值域是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14)\f(12)))[3＋∞)6．函数y＝f(x)是定义在[－22]上的减函数且f(a＋1)<f(2a)则实数a的取值范围是________．答案[－11)解析由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2－2≤2a≤2a＋1>2a))解得－1≤a<1.确定函数的单调性命题点1求具体函数的单调区间例1(1)(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞－2)B．(－∞1)C．(1＋∞)D．(4＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．设t＝x2－2x－8则y＝lnt为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．∵函数t＝x2－2x－8在(4＋∞)上单调递增在(－∞－2)上单调递减∴函数f(x)的单调递增区间为(4＋∞)．故选D.(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1x>00x＝0－1x<0))g(x)＝x2f(x－1)则函数g(x)的单调递减区间是__________．答案[01)解析由题意知g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x>10x＝1－x2x<1))该函数图象如图所示其单调递减区间是[01)．命题点2判断或证明函数的单调性例2讨论函数f(x)＝eq\f(axx－1)(a>0)在(－∞1)上的单调性．解方法一