2021-2022学年新教材人教A版数学必修第一册学案：4-4-2-1 对数函数的图象和性质 WORD版含答案.docx

4．4.2对数函数的图象和性质
第1课时对数函数的图象和性质

教材要点
要点一对数函数的图象与性质

a＞10＜a＜1图象性质定义域________值域R过点________，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是________在(0，＋∞)上是________状元随笔底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．

要点二反函数
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数函数y＝log5x与y＝log15x的图象关于y轴对称．()
(2)对数函数的图象都在y轴的右侧．()
(3)若对数函数y＝log(a－1)x是减函数，则a＞2.()
(4)函数y＝ax与函数y＝logax的图象关于直线y＝x对称．()

2．(多选)若函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可能是()
A．0.3B．15
C．32D．π
3．函数y＝log2x在区间(1，2]上的最大值是()
A．0B．1C．2D．4
4．函数y＝loga(x－3)－2的图象过的定点是________．

题型1对数函数的图象问题
角度1图象过定点问题
例1已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．

方法归纳
解决与对数函数有关的函数图象过定点问题的方法：对任意的a＞0且a≠1，都有loga1＝0，例如，解答函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点的问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m).

角度2对数函数的底与图象变化的关系
例2如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________.

方法归纳
当0＜a＜1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢．当a＞1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．
角度3图象的识别问题
例3函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为()

方法归纳
(1)对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点等求解．
(2)根据函数解析式确定函数图象的问题，主要是通过不同的角度来确定函数解析式与函数图象的对应关系，如函数的定义域(值域)、单调性，图象是否过定点、图象的对称性等．
跟踪训练1(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的()

(2)图中曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取3，43，35，110四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为()
A．3，43，35，110
B．3，43，110，35
C．43，3，35，110
D．43，3，110，35
(3)函数y＝loga(2x－1)＋2的图象恒过定点P，点P在指数函数f(x)的图象上，则f(－1)＝________．
题型2对数函数图象的综合应用
例4当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围是()
A．(0，1)B．(1，2)C．(1，2]D．（0，12）

方法归纳
解答与对数函数图象有关的综合问题的关键
(1)熟悉函数的图象及性质是解决该类型题目的前提．
(2)对于较复杂的方程，求其解的个数或者参数的取值范围，往往转化为两个函数图象的交点个数问题，体现了直观想象的核心素养．
跟踪训练2已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,3x，x≤0，))直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是__________________.
题型3对数型函数的值域与最值问题
例5求函数f(x)＝log2(4x)·log14x2，x∈[12,4]的值域．

方法归纳
(1)利用对数运算性质化为关于log2x的一个二次函数，再通过二次函数的方法求最值．
(2)求形如y＝logaf(x)(a＞0且a≠1)的复合函数值域的步骤：①求函数的定义域；②将原函数拆分成y＝logau(a＞0，且a≠1)，u＝f(x)两个函数；③由定义域求u的取值范围；④利用函数y＝logau(a＞0且a≠1)的单调性求值域．
跟踪训练3已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的