2021-2022学年新教材人教A版数学必修第一册学案：4-2-2-1 指数函数的图象和性质 WORD版含答案.docx

4．2.2指数函数的图象和性质
第1课时指数函数的图象和性质

教材要点
要点指数函数的图象与性质

a＞10＜a＜1性
质图象定义域R值域________过定点过点________，即x＝____时，y＝____函数值
的变化当x＞0时，________；
当x＜0时，________当x＞0时，________；
当x＜0时，________单调性是R上的________是R上的________状元随笔底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图象是
“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)指数函数的图象都在y轴上方．()
(2)因为a0＝1(a＞0且a≠1)，所以函数y＝ax恒过(0，1)点．()
(3)若指数函数y＝mx是减函数，则0＜m＜1.()
(4)函数y＝3x的图象在函数y＝2x图象的上方．()

2．函数y＝2－x的图象是()

3．函数f(x)＝2x-1的定义域是()
A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)
C．(－∞，0]D．(－∞，1]
4．函数y＝ax－2(a＞0且a≠1)的图象恒过定点，则它的坐标为________．

题型1指数型函数的定义域和值域
例1求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝21x-4；(2)y＝3x2-2x；(3)y＝2xx-1.

方法归纳
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a＞0且a≠1)：
(1)函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同；
(2)求函数y＝af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af(x)的值域；
(3)求函数y＝f(ax)的定义域，需先确定y＝f(u)的定义域，即u的取值范围，亦即u＝ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，得y＝f(ax)的定义域；
(4)求函数y＝f(ax)的值域，需先利用函数u＝ax的单调性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数y＝f(u)的值域，即为y＝f(ax)的值域．
跟踪训练1(1)函数f(x)＝1-2x＋1x+3的定义域为()
A．(－3，0]B．(－3，1]
C．(－∞，－3)∪(－3，0]D．(－∞，－3)∪(－3，1]
(2)函数f(x)＝(12)x+1的值域是________．
题型2指数函数的图象
角度1图象过定点
例2已知函数f(x)＝a2x－1＋2(a为常数，且a＞0，a≠1)，无论a取何值，函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是()
A．(0，1)B．(1，2)C．(1，3)D．(12,3)
方法归纳
解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a＞0，a≠1)的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b).
角度2指数函数的底与其图象的关系
例3如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()

A.a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c

方法归纳

设a＞b＞1＞c＞d＞0，则y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大，或者说在第一象限内，指数函数的图象，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴．
角度3有关指数函数图象的识别
例4二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝(ba)x的图象可以是()

方法归纳
识别与指数函数图象有关问题应把握三点：
(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a＞1或0＜a＜1；
(2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；
(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型．
跟踪训练2(1)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()

(2)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是()

(3)设函数f(x)＝3ax＋1－1(a＞0且a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝________．
题型3指数函数图象的综合应用
例5若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个不同的交点，求a的取值范围．

方法归纳
数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想，