数值分析数值积分与数值微分.ppt

第4章数值积分与数值微分4.1数值积分概论（1）被积函数，诸如等，找不到用
初等函数表示的原函数，或者即使能求得原函数但原函数的
表达式非常复杂，计算困难；就是说，底为而高为的矩形面积恰等于所求问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以图4-2一般地，可以在区间上适当选取某些节点，这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积
分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼
兹公式需要寻求原函数的困难.代数精度的概念欲使求积公式(1.3)具有次代数精度，则只要令它如果事先选定求积节点，譬如，以区间的等
距分点作为节点，这时取，求解方程组(1.4)即可确
定求积系数，而使求积公式(1.3)至少具有次代数精度.例如时，取，求积公式为当时（1.4）式的第3个式子不成立，因为如，此时求积公式为再令，代入（1.4）的第3式有例1给定形如的
求积公式，试确定系数，使公式具有尽可能高的
代数精度.当时，得插值型的求积公式（1.6）当是次数不超过的多项式时，插值多项式就是注意到上式右端实际上即等于，因而若求积公式(1.3)的代数精度为，则有求积公式余项的表达式(1.7)可以证明余项形如（1.9）对中矩形公式(1.2)，其代数精度为1，可以证明例2求例1中求积公式求积公式的收敛性与稳定性如果对任给小正数定理2若求积公式(1.3)中系数定理2表明，只要求积系数，就能保证计算的稳
定性.4.2牛顿-柯特斯公式（2.2）当时，按(2.2)式，的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，其形式是34从柯特斯系数表看到时，柯特斯系数出现
负值，它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算
不稳定，故的牛顿-柯特斯公式是不用的.偶阶求积公式的代数精度这时有，即辛普森公式对次数不超过三次的多项式
均能准确成立，而它对通常是不准确的，因此，
辛普森公式实际上具有三次代数精度.证明我们只要验证，当为偶数时，牛顿-柯特斯公式对的余项为零.因为被积函数辛普森公式的余项从而可得辛普森公式的余项为4.3复合求积公式（3.1）由(1.10)，余项（3.3）此外，的求积系数为正，由定理2知复合梯形公式是
稳定的.复合辛普森求积公式由(2.5)，其余项例3对于函数，给出的函数表(见表4-2)，试用复合梯形公式(3.2)及复合辛普森公式(3.5)计算积分
同积分的准确值比较，复合梯形法的结果只有两位有效数字，而复合辛普森法的结果却有6位有效数字.于是例4计算积分，若用复合梯形公，问区间应分多少等份才能使误差不超过，若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度，区间应分多少等份？因此有，可取，即将区间
213等份，即可使误差不超过从这个例子可以看出，为达到同样的精度，复合辛普森
公式只需计算9个函数值，而复合梯形公式则需214个函数值，
工作量相差近24倍.4.4龙贝格求积公式用复合梯形公式求得该子区间上的积分值为从而利用式(3.2)可导出下列递推公式例5利用递推公式(4.1)，有它表明用复化梯形公式计算积分要达到7位有效数
字的精度需要二分区间10次，即要有分点1025个，计算量
很大.外推技巧定理4设则有这种将计算的近似值的误差阶由提高到
的方法称为外推算法，也称为(Richardson)外推算法.与上述做法类似，从(4.4)出发，当再增加一倍，即减少一半时，有这个公式相当于由辛普森法二分前后的两个积分值
与组合得到的，即（4.9）设以表示二分次后求得的梯形值，且以表示计算过程：70可以证明，如果充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值，即例6用龙贝格算法计算积分从表中看到用龙贝格算到的精度与辛普森求积
精度相当.这里的精确值为4.5自适应积分方法针对这类问题的算法技巧是在不同区间上预测被积函数
变化的剧烈程度确定相应的步长.设给定精度要求，计算积分实际上(5.2)即为若不等式(5.3)不成立，则应分别对子区间
及再用辛普森公式，此时步长,得到及.例7计算积分现在若用自适应积分法，当时有小于允许误差0.01，故在区间的积分值为大于允许误差0.01，因此还要分别计算及
的积分.且将以上各区间的积分近似值相加可得一般理论试确定节点及和系数，使其具有近可能高的代数精度.用(6.2)式中的第3式减去乘(6.2)中的第2式有再由(6.2)式的第1式得，于是有为求积节点，可适当选取及使5.1）具有次代数精度.根据定义要使(6.4)具有次代数精度，只要对(6.4)是关于及的非线性方程组，当时求解非常困难.设上的个节点
的拉格朗日插值多项式为用乘上式并从到积分，则得显然当取为时有，此时有若要求对，积分定理5插值型求积公式(6.4)的节点（6.8）由于求积公式(6.4)是插值型的，它对于是精确的，可见求积公式(6.4)对一切次数不超过的多项式均精
确成立.因此，为高斯点