数值分析数值积分与数值微分习题答案.docx

第四章数值积分与数值微分

1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若
令，则

令，则

令，则

从而解得

令，则

故成立。
令，则

故此时，

故
具有3次代数精度。
（2）若
令，则

令，则

令，则

从而解得

令，则

故成立。
令，则

故此时，

因此，

具有3次代数精度。
（3）若
令，则

令，则

令，则

从而解得
或
令，则

故不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
（4）若
令，则

令，则

令，则

故有

令，则

令，则

故此时，

因此，
具有3次代数精度。
2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

解：

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。
证明：
柯特斯公式为

令，则

令，则

令，则

令，则

令，则

令，则

令，则

因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。
4。用辛普森公式求积分并估计误差。
解：
辛普森公式为

此时，

从而有

误差为

5。推导下列三种矩形求积公式：

证明：

两边同时在上积分，得

即

两边同时在上积分，得

即

两连边同时在上积分，得

即

6。若用复化梯形公式计算积分，问区间应人多少等分才能使截断误差不超过？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间应分多少等分？
解：
采用复化梯形公式时，余项为

又
故

若，则

当对区间进行等分时，

故有

因此，将区间213等分时可以满足误差要求
采用复化辛普森公式时，余项为

又

若，则

当对区间进行等分时

故有

因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
7。如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。
解：采用梯形公式计算积分时，余项为

又且

又

即计算值比准确值大。
其几何意义为，为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。
8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过.

解：

00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717因此

03.45131318.628283-4.446923因此

014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此
9。用的高斯-勒让德公式计算积分

解：

令，则
用的高斯—勒让德公式计算积分

用的高斯—勒让德公式计算积分

10地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是

这是是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则

我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。
解：

从而有。

01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646

即人造卫星轨道的周长为48708km
11。证明等式

试依据的值，用外推算法求的近似值。
解
若
又
此函数的泰勒展式为

当时,
当时,
当时,
由外推法可得
n32.59807663.0000003.13397593.1058293.1411053.141580
故
12。用下列方法计算积分，并比较结果。
(1)龙贝格方法；
(2)三点及五点高斯公式；
(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。
解

(1)采用龙贝格方法可得
k01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613
故有
(2)采用高斯公式时

此时
令则

利用三点高斯公式