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数学实验报告实验3插值与数值积分

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实验3插值与数值积分
分1黄浩2011011743
实验目的
掌握用matlab计算Lagrange、分段线性、分段三次和三次样条插值这四种插值方法，并通过改变节点的数目，分析插值结果
掌握用matlab及梯形公式、辛普森公式计算数值积分
通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题
实验内容
1.（1）题：
问题叙述：
考虑函数：fx=11+x2x∈[-5,5],取不同的节点数目,分别用Lagrange插值、分段线性和三次插值，以及三次样条插值近似f(x)，分析插值效果
方案实施：
由于在matlab中，没有预设的lagrange插值法函数，因此我首先编制了Lagrange（程序见四.1）和分段线性的插值函数（程序见四.2），并进行了y=x2函数的插值检验（程序见四.3），以检验编写的函数是否准确，如下图所示：

上图中，红、绿两线分别是自设Lagrange和分段线性的插值图，蓝色十字点是matlab自带的分段线性函数的插值图，蓝绿完全吻合、红绿基本吻合，证明自设函数是正确的。
然后进行本题目要求的插值操作：以（x0,y0）为节点，节点在区间内均匀分布且将节点数分别调为6、11、21；x为插值点，绘图时使用101个插值点（始终大于节点数），制表时使用的插值点数目依节点数调节；y为真值，y1、y2、y3、y4分别为使用Lagrange、分段线性、分段三次和三次样条插值的方法所得的插值结果。
节点数为6时：（即节点为-5,-3,…,3,5）
xyy1y2y3y401.00000.56730.50000.50000.56850.50000.80000.55010.50000.50000.55131.00000.50000.50000.50000.50000.50001.50000.30770.42130.40000.44250.41672.00000.20000.32120.30000.31330.31312.50000.13790.20970.20000.17750.20293.00000.10000.10000.10000.10000.10003.50000.07550.00780.08460.07540.01834.00000.0588-0.04810.06920.0559-0.02854.50000.0471-0.04600.05380.0431-0.02635.00000.03850.03850.03850.03850.0385图像为：
由上图可见，当节点数为6时，插值效果皆不理想，在各节点之间的插值都有很大的误差，在x=0附近误差最大
节点数为11时：（即节点为-5,-4,…,4,5）
xyy1y2y3y401.00001.00001.00001.00001.00000.50000.80000.84340.75000.79690.82051.00000.50000.50000.50000.50000.50001.50000.30770.23530.35000.32190.29732.00000.20000.20000.20000.20000.20002.50000.13790.25380.15000.13850.14013.00000.10000.10000.10000.10000.10003.50000.0755-0.22620.07940.07550.07454.00000.05880.05880.05880.05880.05884.50000.04711.57870.04860.04650.04845.00000.03850.03850.03850.03850.0385图像为：

由上图可见，当节点数为11时，分段三次与三次样条插值的效果较好，其次是分段线性插值，而Lagrange插值在[-2,2]区间内精度较高，但在|x|>3时，就会发生Runge振荡
节点数为21时（程序见四.4）：（即节点为-5,-4.5…,4.5,5）
xyy1y2y3y401.00001.00001.00001.00001.00000.10000.99010.99040.96000.98690.98910.20000.96150.96260.92000.95260.95940.30000.91740.91890.88000.90500.91520.40000.86210.86320.84000.85150.86060.50000.80000.80000.80000.80000.80000.60000.73530.73370.74000.74560.73720.70000.67110.66820.68000.68230.67420.80000.60980