数学实验3-插值与数值积分-安振华-2012011837.docx

清华大学数学实验报告
实验3：插值与数值积分

化学工程系分2安振华2012011837

【实验目的】
1．掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，以及能对三种插值结果进行初步分析；
2．熟练掌握用MATLAB及梯形公式、辛普森公式计算数值积分；
3．通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。
【实验内容】
预备：
eq\o\ac(○,1)编制计算拉格朗日插值的M文件(lagr.m)
functiony=lagr(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
fori=1:m
z=x(i);
s=0.0;
fork=1:n
p=1.0;
forj=1:n
ifj~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end

eq\o\ac(○,2)分段线性插值函数（interp.m）
functiony=interp1(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
fori=1:m
s=0;
forj=1:n
ifx(i)>=x0(j)
s=y0(j);
end
ifx(i)<x0(j)
s=s+(x(i)-x0(j-1))/(x(j)-x(j-1))*(y0(j)-y0(j-1));
break
end
end
y(i)=s;
end

【实验三：习题10】
表3.10给出的x,y数据位于机翼断面的轮廓线上，y1与y2分别对应轮廓的上下线，假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标。试完成加工所需数据，画出曲线，求机翼剖面的面积。
表3.10机翼剖面轮廓线数据
x035791112131415y101.82.22.73.03.12.92.52.01.6y201.21.72.02.12.01.81.21.01.6【分析】
由于给定的数据点是有限的，要想确定更多的有效数据，就要运用插值方法。而加工断面的面积，则应通过数值积分分别求出上下轮廓线对x轴围成的面积，然后作差求得。
【解答】
运用学习的三种插值方法逐一计算，具体如下：
1、拉格朗日多项式插值

MATLAB程序:
clf,shg,
x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y10=[0,1.8,2.2,2.7,3,3.1,2.9,2.5,2,1.6];
y20=[0,1.2,1.7,2,2.1,2,1.8,1.2,1,1.6];%按照表格3.10输入原始数据
x=0:0.1:15;%按题目要求以0.1的间隔产生插值点
y1=lagr(x0,y10,x);
y2=lagr(x0,y20,x);%在x方向计算拉格朗日插值
subplot(1,2,1),plot(x0,y10,'k',x0,y20,'r')
subplot(1,2,2),plot(x,y1,'b',x,y2,'b')
S=trapz(x,y1)-trapz(x,y2)%计算机翼剖面面积

运行结果：

给出机翼剖面面积S=40.3044

2、分段线性插值

MATLAB程序:
clf,shg,
x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y10=[0,1.8,2.2,2.7,3,3.1,2.9,2.5,2,1.6];
y20=[0,1.2,1.7,2,2.1,2,1.8,1.2,1,1.6];
x=0:0.1:15;
y1=interp1(x0,y10,x)
y2=interp1(x0,y20,x)%在x方向计算分段线性插值并输出结果
subplot(1,2,1),plot(x0,y10,'k',x0,y20,'r')
subplo(1,2,2),plot(x,y1,'b',x,y2,'b')%分段线性插值作图
S=trapz(x,y1)-trapz(x,y2)%梯形公式计算面积

运行结果：

给出机翼剖面面积S=10.7500

3、三次样条插值

MATLAB程序:
clf,shg,
x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y10=[0,1.8,2.2,2.7,3,3.1,2.9,2.5,2,1.6];
y20=[0,1.2,1.7,2,2.1,2,1.8,1.2,1,1.6];
x=0:0.1:15;
y1=spline(x0,y10,x)
y2=spline(x0,y20,x)%在x方向计算三次样条插值并输出结果
subplot(1,2,1),plot(x0,y10,'k',x0,y20,'r')
subplot(1,2,2),plot(x,y1,'b',x,y2,'b')%三次样条