向量的概念及线性运算.docx

第1讲向量的概念及线性运算

【知识梳理】
一、向量的概念
1.有关概念
(1)定义:既有又有的量叫向量．注意向量和数量的区别．
(2)向量的表示：几何表示:向量常用来表示；字母表示:或
注意:①不能说向量就是有向线段;②向量不能比较大小.
(3)向量的模(长度)：即向量的大小，记作或
(4)零向量：的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的.
(5)单位向量：的向量叫做单位向量.
(6)相等向量：的两个向量叫相等向量.
注意:①相等向量有传递性；②任意两个相等的非零向量都可用同一有向线段表示，与起
点无关.(自由向量)
(7)相反向量：的两个向量叫做相反向量.的相反向量是.的相
反向量是.
2.平行向量(共线向量)
(1)定义:方向的非零向量叫做平行(共线)向量,记作：.
规定和任何向量平行.
(2)注意:
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共
线,但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有)；
④三点共线共线；
二、向量的线性运算
1.向量的加法：平行四边形法则；三角形法则(首尾连，指终点).
性质：；；

2.向量的减法：三角形法则(共起点，指被减)。
性质：；；。
3.实数与向量的积：是一个向量,满足:①大小：，
②方向：时,与同向;时,与反向;时,=。
性质：；；；
4．重要结论：
(1)若，则.
(2)任意向量：；.
(3)；.
(4)与共线的单位向量是.
(5)，.

(6)四边形为平行四边形.
【典例精析】
例1.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)图中与向量相等的向量是.
(2)与向量长度相等的向量有个.
(3)与向量共线的向量有
例2.如图，平行四边形ABCD，

例3.计算：

例4.梯形ABCD中，,|AB|=2|DC|,M、N分别为DC、AB中点.
用表示.

例5.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N是BD上的一点，
求证:M、N、C三点共线.

例6.用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

【过关精练】
一.选择题
1．正方形ABCD的边长为1，则()
A．1B.eq\r(2)C．3D．2eq\r(2)
2．已知△ABC和点满足.若存在实数使得成
立，则等于()
A．5B．4C．3D．2
3．已知向量，且，则一定共线的三
点是()
A．B．C．D．
4．如图，在正六边形ABCDEF中，()
A．B.C.D.

5.如图，向量的终点A，B，C在一条直线上，且.
设，则以下等式中成立的是()
A．B．C．D．
6．在中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若
，则(B)
A.B.C.D.
二.填空题
7．把同一平面内所有模不小于2，不大于4的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点
构成的图形的面积是__________

8．当非零向量满足________时，平分间的夹角．

9．若向量满足，则的最小值是________

10．若P为△ABC的外心，且，则∠ACB＝________120°.

三.解答题
11．如图：三点的坐标依次是．当满足什么条件时？

12．如下图，已知.

(1)如图①，若C，D是AB的三等分点，求；
(2)如图②，若C，D，E是AB的四等分点，求.