向量的概念及表示、向量的线性运算.doc

向量的概念及表示、向量的线性运算在数学中几何向量(也称为欧几里得向量通常简称向量、矢量)指具有大小(magnitude)和方向的几何对象可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指代表向量的方向、线段长度代表向量的大小。一个向量可以有多种记法如记作粗体的字母(a、b、u、v)或在字母顶上加一小箭头→或在字母下加波浪线~。如果给定向量的起点(A)和终点(B)可将向量记作AB(并于顶上加→)。给空间设一直角坐标系也能把向量以数对形式表示例如Oxy平面中(23)是一向量。而在物理学和工程学中几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量比如一个物体的位移球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系例如向量势对应于物理中的势能。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示大小和方向的概念亦不一定适用。因此平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系也可以透过选取恰当的定义在向量空间上介定范数和内积这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。1.代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c…等来表示手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示也可以用大写字母A、B、C...等表示。2.几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小向量的大小也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量记作0.长度等于1个单位的向量叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。(若规定线段AB的端点A为起点B为终点则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。)3.坐标表示：1)在平面直角坐标系中分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ij作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知有且只有一对实数(xy)使得a=向量OP=xi+yj因此把实数对(xy)叫做向量a的坐标记作a=(xy)。这就是向量a的坐标表示。其中(xy)就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。2)在立体三维坐标系中分别取与x轴、y轴z轴方向相同的3个单位向量ijk作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量以坐标原点O为起点作向量OP=a。由空间基本定理知有且只有一组实数(xyz)使得a=向量OP=xi+yj+zk因此把实数对(xyz)叫做向量a的坐标记作a=(xyz)。这就是向量a的坐标表示。其中(xyz)也就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。死记硬背是一种传统的教学方式在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式渐渐为人们所摒弃;而另一方面老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实只要应用得当“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。单靠“死”记还不行还得“活”用姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来摒弃那些假话套话空话写出自己的真情实感篇幅可长可短并要求运用积累的成语、名言警句等定期检查点评选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样即巩固了所学的材料又锻炼了学生的写作能力同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等达到“一石多鸟”的效果。3)当然对于多维的空间向量可以通过类推得到此略。“师”之概念大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”其只是“老”和“师”的复合构词所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称虽能从其身上学以“道”但其不一定是知识的传播者。今天看来“教师”的必要条件不光是拥有知识更重于传播知识。