曲线积分与曲线积分.docx

六、曲线积分与曲面积分
1．设曲线SKIPIF1<0是上半圆周SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0。
解法1由于SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，从而
SKIPIF1<0。
解法2令SKIPIF1<0，则
SKIPIF1<0。
解法3设曲线SKIPIF1<0的质量分布均匀，则其重心的横坐标为SKIPIF1<0。又因为
SKIPIF1<0，
所以SKIPIF1<0。
2．设SKIPIF1<0是上半椭圆周SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是四分之一椭圆周SKIPIF1<0，则
(A)SKIPIF1<0。 (B)SKIPIF1<0。
(C)SKIPIF1<0。 (D)SKIPIF1<0。[]
答D
解由于SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以
SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。
注意到SKIPIF1<0，从而可以排除(A)，(B)，(C)三个选项，或直接选出正确选项(D)。
3．计算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是圆周SKIPIF1<0上从点SKIPIF1<0经点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的一段。
解法1取SKIPIF1<0为自变量，则SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以
SKIPIF1<0
解法2取SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，所以
SKIPIF1<0。
解法3由于SKIPIF1<0是圆周SKIPIF1<0的外向单位发向量，所以此圆周的正向单位切向量为SKIPIF1<0。根据两类曲线积分之间的关系，得
SKIPIF1<0，
其中SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，起点为SKIPIF1<0，终点为SKIPIF1<0。因此
SKIPIF1<0。
4．计算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是圆周SKIPIF1<0。
解由于圆周SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以SKIPIF1<0，从而
SKIPIF1<0
因为SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
5．已知曲线SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0与球面SKIPIF1<0的交线，计算曲线积分SKIPIF1<0。
解法1由于曲线SKIPIF1<0的方程中的变量SKIPIF1<0具有轮换对称性，所以
SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0，
因此
SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0，
从而
SKIPIF1<0。
解法2直接化成定积分进行计算。曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0平面的投影曲线是一椭圆，其方程是
SKIPIF1<0，
即
SKIPIF1<0。
令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0的参数方程为
SKIPIF1<0SKIPIF1<0，
所以
SKIPIF1<0。
从而
SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0，
因此SKIPIF1<0。
6．求柱面SKIPIF1<0被球面SKIPIF1<0包围部分的面积SKIPIF1<0。
解根据第一型曲线积分的几何意义及对称性，得
SKIPIF1<0，
其中SKIPIF1<0是平面曲线SKIPIF1<0在第一象限中的部分。
取SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则
SKIPIF1<0，
所以
SKIPIF1<0
7．计算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是从点SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的折线段。
解设SKIPIF1<0SKIPIF1<0从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0；SKIPIF1<0从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0