重积分曲线积分曲面积分.docx

重积分、曲线积分、曲面积分
一、曲线积分
第一型曲线积分(对弧长)
定义：设SKIPIF1<0为平面上可求长度的曲线段，SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的函数。对曲线SKIPIF1<0作分割SKIPIF1<0，它把SKIPIF1<0分成SKIPIF1<0个可求长度的小曲线段SKIPIF1<0SKIPIF1<0的弧长记为SKIPIF1<0分割SKIPIF1<0的细度为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0若极限
SKIPIF1<0
存在，则称此极限值为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作SKIPIF1<0。
若SKIPIF1<0为空间可求长曲线段，SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的函数，则可类似定义SKIPIF1<0在空间曲线SKIPIF1<0上的第一型曲线积分，并且记为SKIPIF1<0。
性质：
若SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0为常数，则SKIPIF1<0也存在，且
SKIPIF1<0
若曲线段SKIPIF1<0由曲线SKIPIF1<0首尾相接而成，且SKIPIF1<0都存在，则SKIPIF1<0也存在，且
SKIPIF1<0
若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都存在，且在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0则
SKIPIF1<0
若SKIPIF1<0存在，则SKIPIF1<0也存在，且
SKIPIF1<0。
若SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0的弧长为SKIPIF1<0，则存在常数SKIPIF1<0，使得
SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。
计算
设有光滑曲线SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的连续函数，则
SKIPIF1<0。
若曲线SKIPIF1<0由方程SKIPIF1<0表示，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续可导，则
SKIPIF1<0
设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0一段，试计算第一型曲线积分SKIPIF1<0
解SKIPIF1<0
例2.计算SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为球面SKIPIF1<0被平面SKIPIF1<0所截得的圆周。
解由对称性知SKIPIF1<0所以
SKIPIF1<0

第二型曲线积分（对坐标）
有向曲线：带有方向的曲线称为有向曲线，其正方向是指从起点到终点的方向。简单闭曲线的正方向是指逆时钟方向。
定义：设函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0定义在平面有向可求长度曲线SKIPIF1<0:SKIPIF1<0上，对SKIPIF1<0的任一分割SKIPIF1<0，它把SKIPIF1<0分成SKIPIF1<0个小曲线段SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0。记各小曲线段SKIPIF1<0的弧长为SKIPIF1<0，分割SKIPIF1<0的细度SKIPIF1<0又设SKIPIF1<0的分点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，并记SKIPIF1<0SKIPIF1<0在每个小曲线段SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0，若极限
SKIPIF1<0
存在，则称此极限为函数SKIPIF1<0沿有向曲线SKIPIF1<0上的第二型曲线积分（对坐标），记为
SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。
上述积分还可写作
SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。
为方便，上述积分可简写成SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0是闭曲线，上述积分可写成
SKIPIF1<0。

若SKIPIF1<0为空间有向可求长度曲线，SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的函数，则类似地可定义沿空间有向曲线SKIPIF1<0上的第二型曲线积分，记为
SKIPIF1<0
可简写成SKIPIF1<0。
注：第一型曲线积分与曲线的方向无关，第二型曲线积分与曲线的方向有关。

性质：
1.SKIPIF1<0
2.若SKIPIF