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重积分与曲线积分
教学与考试基本要求：
1．理解二重积分的概念、几何意义，掌握二重积分的性质；
2．会将二重积分化为二次积分，交换积分次序；
3．会在直角坐标系和极坐标系下，计算二重积分.
9.1二重积分的概念与性质
一、主要内容回顾
表9.1二重积分的概念与性质
定义设SKIPIF1<0在有界闭区域SKIPIF1<0内有界.将SKIPIF1<0任意分成SKIPIF1<0个小闭区域SKIPIF1<0,任取SKIPIF1<0SKIPIF1<0,作SKIPIF1<0
记SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0SKIPIF1<0有确定的值,则称该值为SKIPIF1<0在区域SKIPIF1<0上的二重积分,记为SKIPIF1<0,即
SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0.几何意义当SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0表示以区域SKIPIF1<0为底,曲面SKIPIF1<0SKIPIF1<0为顶的曲顶柱体的体积.
当SKIPIF1<0SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0=区域SKIPIF1<0的面积.存在性若SKIPIF1<0在有界区域SKIPIF1<0上连续,则SKIPIF1<0存在.性质运
算
性
质SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0可
加
性设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0有序
及估
值性若在区域SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0;
若在区域SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.中值定理若SKIPIF1<0在有界闭区域SKIPIF1<0上连续,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的面积,则存在SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.
二、本节基本考试题型及配套例题
题型1.利用二重积分的几何意义确定下列积分的值.
(1)SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0;
(2)SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0.
解(1)曲顶柱体的底为圆盘SKIPIF1<0,顶是下半圆锥面SKIPIF1<0,故曲顶柱体为一底面及高均为R的圆锥体,所以
SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.
(2)曲顶柱体的底为圆盘SKIPIF1<0,顶是下半球面SKIPIF1<0,故曲顶柱体是以R为半径的半球体,所以
SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.
题型2.利用二重积分的性质估计下列积分的值.
(1)SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.
(2)SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0.
解(1)在区域SKIPIF1<0内,有SKIPIF1<0,
所以
SKIPIF1<0.
(2)在区域SKIPIF1<0内,有
SKIPIF1<0,
所以
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

三、习题选解(习题9–1)
1．用二重积分表示下列曲顶柱体的体积，并用不等式组表示曲顶柱体在SKIPIF1<0坐标面上的底．
（１）由平面SKIPIF1<0所围成的立体SKIPIF1<0；
（２）由椭圆抛物面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0所围成的立体SKIPIF1<0．
解（1）SKIPIF1<0
因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平面的交线为SKIPIF1<0
则此曲顶柱体在SKIPIF1<0坐标面上的底SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0．
（2）SKIPIF1<0
因为椭圆抛物面SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平面的交线为椭圆SKIPIF1<0
则此椭圆抛物面在SKIPIF1<0坐标面上的底SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0．
２．利用二重积分性质比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，其中SKIPIF1<0由SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴及S