曲线积分与曲面积分.doc

第十章曲线积分与曲面积分
基本内容要求
理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、面积分表达一些几何量和物理量；
掌握线、面积分的计算法；
知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系；
掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重积分；
掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数，注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少；
掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭区间Ω上的三重积分。
选择
1．设是从O（0，0）到点M（1，1）的直线段，则与曲线积分I=不相等的积分是：（）
A)B)
C)D)
2．设L是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1|至点A(2,0)的折线段，则曲线积分I=等于（）
A)0B)-1C)2D)-2
3．设L为下半圆周，将曲线积分I=化为定积分的正确结果是：（）
A)B)
C)D)
4．设L是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形域的周界沿ABCA方向，则等于：（）
A)-8B)0C)8D)20
5．设AEB是由点A(-1,0)沿上半圆经点E(0,1)到点B(1,0)，则曲线积分I=等于：（）
A)0B)C)D)
填空
1．是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有
=。
2．设L是xoy平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面闭区域D的面积等于。
3．设函数P(x,y,z,)在空间有界闭区域Ω上有连续的一阶偏导数，又Σ是Ω的光滑边界面的外侧，则由高斯公式，有。
4．设Σ是球面的外侧，则积分。
5．设L是xoy面上的圆周的顺时针方向，则I1=与I2=的大小关系是。
6．设力的模,的方向与相同，则在力的作用下，质点沿曲线L:正向绕行一周，力所做的功可用曲线积分表示为:。
计算
计算曲线积分，其中L为连结O(0,0),A(1,0),B(0,1)的闭曲线OABO.
计算，其中L由直线段AB与BC组成，路径方向从点A(2,-1)经点B(2,2)到点C(0,2).
求I=,其中为由点A(a,0)到点O(0,0)上半圆周.
验证：当时，是某二元函数U(x,y)的全微分，并求U(x,y).
计算，Σ是球面在第一卦限部分的上侧。
设在xoy面内有一分布着质量的曲线弧L，在点(x,y)处它的线密度为ρ(x,y)，用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix,Iy；（2）这曲线弧的重心坐标。
计算下列对弧长的曲线积分：
（1），其中L为圆周x=acost,y=asint；
（2），其中L为圆周，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
（3），其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2).
计算下列对坐标的曲线积分：
（1），其中L为圆周及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；
（2），其中L为圆周（按逆时针方向绕行）；
（3），其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线。
9．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：圆.
10．证明下列曲线积分在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值：

11．利用格林公式，计算下列曲线积分：
,其中L为正向星形线.
12．验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xoy平面内是某一函数U(x,y)的全微分，并求这样的一个U(x,y)：
13．计算下列对面积的曲面积分：
（1），其中Σ为平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分；
（2），其中Σ为锥面被柱面所截得的有限部分。
14．求抛物面壳()的质量，此壳的面密度的大小为ρ=z.
15．计算下列对坐标的曲面积分：
（1），其中∑是柱面被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧；
（2），其中∑是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。
16．利用高斯公式计算曲面积分：,其中∑为球面的外侧。
证明
已知f(u)连续，且L为逐段光滑的简单封闭曲线，证明：

应用
1．求均匀的锥面（设面密度为1）对ox轴的转动惯量。
2．求矢量场穿过圆柱体的全表面的流量和侧表面的流量。
3．求均匀弧x=a(t-sint),y=a(1-cost)的重心坐标。
4．设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置()沿直线移动到()时重力所作的功。
5．设曲线L的极坐标方程为，其上任一点处的线密度等于该点处矢径的长度，求L的质量。
6*．求半径为R的均匀半圆周L（线密度为δ=1）对于位于圆心的单位质量的质点的引力。
7*．试用曲