高考数学一轮复习 课后限时集训63 坐标系 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

课后限时集训(六十三)坐标系
(建议用时：60分钟)
A组基础达标
1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．
[解]设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝3y′，))
∴4x′2＋9y′2＝36，eq\f(x′2,9)＋eq\f(y′2,4)＝1.
∴曲线C在伸缩变换后得椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，其焦点坐标为(±eq\r(5)，0)．
2．在极坐标系中，求直线ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标．
[解]ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1化为直角坐标方程为eq\r(3)x－y＝2，
即y＝eq\r(3)x－2.
ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y，
把y＝eq\r(3)x－2代入x2＋y2＝4y，
得4x2－8eq\r(3)x＋12＝0，
即(x－eq\r(3))2＝0，
所以x＝eq\r(3)，y＝1.
所以直线与圆的交点坐标为(eq\r(3)，1)，化为极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6))).
3．在极坐标系中，已知圆C经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，圆心为直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
[解]在ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)中，
令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，
所以圆C的半径|PC|＝eq\r(\r(2)2＋12－2×1×\r(2)cos\f(π,4))＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
4．在直角坐标系xOy中，直线l：y＝x，圆C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosφ，,y＝－2＋sinφ))(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l与圆C的极坐标方程；
(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．
[解](1)将C的参数方程化为普通方程，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝1，
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l的极坐标方程为θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，
圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0.
(2)将θ＝eq\f(π,4)代入ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0，得ρ2＋3eq\r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝－2eq\r(2)，ρ2＝－eq\r(2)，|MN|＝|ρ1－ρ2|＝eq\r(2)，
∵圆C的半径为1，∴△CMN的面积为eq\f(1,2)×eq\r(2)×1×sineq\f(π,4)＝eq\f(1,2).
5．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1，圆C的圆心的极坐标是Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))，圆的半径为1.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长．
[解](1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝eq\f(π,4)－θ或∠AOD＝θ－eq\f(π,4)，
|OA|＝|OD|coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))或|OA|＝|OD|coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).
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