高考数学一轮复习 课后限时集训51 曲线与方程 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

课后限时集训(五十一)曲线与方程
(建议用时：60分钟)
A组基础达标
一、选择题
1．若方程x2＋eq\f(y2,a)＝1(a是常数)，则下列结论正确的是()
A．任意实数a方程表示椭圆
B．存在实数a方程表示椭圆
C．任意实数a方程表示双曲线
D．存在实数a方程表示抛物线
B[当a＞0且a≠1时，该方程表示椭圆；当a＜0时，该方程表示双曲线；当a＝1时，该方程表示圆．故选B.]
2．已知点Q在椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,10)＝1上，点P满足eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OF1,\s\up12(→))＋eq\o(OQ,\s\up12(→)))(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为()
A．圆 B．抛物线
C．双曲线 D．椭圆
D[因为点P满足eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OF1,\s\up12(→))＋eq\o(OQ,\s\up12(→)))，所以点P是线段QF1的中点，设P(x，y)，由于F1为椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,10)＝1的左焦点，则F1(－eq\r(6)，0)，故Q(2x＋eq\r(6)，2y)，由点Q在椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,10)＝1上，得点P的轨迹方程为eq\f(2x＋\r(6)2,16)＋eq\f(2y2,10)＝1，故点P的轨迹为椭圆．故选D.]
3．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且eq\o(QP,\s\up12(→))·eq\o(QF,\s\up12(→))＝eq\o(FP,\s\up12(→))·eq\o(FQ,\s\up12(→))，则动点P的轨迹C的方程为()
A．x2＝4y B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
A[设点P(x，y)，则Q(x，－1)．
∵eq\o(QP,\s\up12(→))·eq\o(QF,\s\up12(→))＝eq\o(FP,\s\up12(→))·eq\o(FQ,\s\up12(→))，
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，
即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，
∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.故选A.]
4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
D[如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝eq\r(|MA|2＋|PA|2)＝eq\r(2)，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.]
5．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()
A.eq\f(4x2,21)－eq\f(4y2,25)＝1 B.eq\f(4x2,21)＋eq\f(4y2,25)＝1
C.eq\f(4x2,25)－eq\f(4y2,21)＝1 D.eq\f(4x2,25)＋eq\f(4y2,21)＝1
D[因为M为AQ垂直平分线上一点，
则|AM|＝|MQ|，
所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，
故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝eq\f(5,2)，c＝1.
则b2＝a2－c2＝eq\f(21,4)，
所以椭圆的方程为eq\f(4x2,25)＋eq\f(4y2,21)＝1.]
二、填空题
6．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________．
(x－10)2＋y2＝36(y≠0)[设A(x，y)，
则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2))).
∴|CD|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－5))2＋\f(y2,4))＝3，
化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，
∴A不能落在x轴上，
即y≠0.]
7．一条线段的长等于6，两端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，P在线段AB上且eq\o(AP,\s\u