高考数学一轮复习 课后限时集训49 双曲线 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

课后限时集训(四十九)双曲线
(建议用时：40分钟)
A组基础达标
一、选择题
1．(2019·福州模拟)已知双曲线E：mx2－y2＝1的两顶点间的距离为4，则E的渐近线方程为()
A．y＝±eq\f(x,4) B．y＝±eq\f(x,2)
C．y＝±2x D．y＝±4x
B[因为E：mx2－y2＝1的两顶点间的距离为4，所以m＝eq\f(1,4)，所以E的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1，所以E的渐近线方程为y＝±eq\f(x,2)，故选B.]
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＜0，则y0的取值范围是()
A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))
A[由题意知a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)，∴F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，∴eq\o(MF1,\s\up12(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up12(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0)．
∵eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))<0，∴(－eq\r(3)－x0)(eq\r(3)－x0)＋yeq\o\al(2,0)<0，
即xeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0.
∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴eq\f(x\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝2＋2yeq\o\al(2,0)，∴2＋2yeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0，∴－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).故选A.]
3．(2019·云南模拟)P为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a＞0)上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|的值为()
A．6 B．9
C．18 D．36
D[不妨设点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，两边平方，整理得|PF1|2＋|PF2|2＝4a2＋2|PF1||PF2|.在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)，即eq\f(4a2＋2|PF1||PF2|－4a2＋9,2|PF1||PF2|)＝eq\f(1,2)，解得|PF1||PF2|＝36，故选D.]
4．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线的夹角θ满足sinθ＝eq\f(4,5)，焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的焦距为()
A.eq\r(5) B.eq\f(\r(5),2)或eq\r(5)
C.eq\r(5)或2eq\r(5) D．2eq\r(5)
C[因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线的夹角θ满足sinθ＝eq\f(4,5)，所以tanθ＝eq\f(4,3)，不妨设双曲线经过第一、三象限的渐近线的倾斜角为α，则θ＝2α或θ＝π－2α，tanθ＝±tan2α＝±eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(4,3)，得tanα＝2或eq\f(1,2)，所以eq\f(b,a)＝2或eq\f(1,2).设右焦点为(c,0)，其中一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则焦点到渐近线的距离d＝eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b＝1，又b2＝c2－a2＝1，解得c＝eq\f(\r(5),2)或eq\r(5)