高考数学一轮总复习 第36讲 数列模型及数列的综合应用考点集训 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

考点集训(三十六)第36讲数列模型及数列的综合应用

1．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低eq\f(1,3)，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为

A．2400元B．900元
C．300元D．3600元
2．某气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为eq\f(n＋49,10)元(n∈N*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了
A．600天B．800天
C．1000天D．1200天
3．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于
A．24B．32
C．48D．64
4．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*且a5＝eq\f(π,2)，若函数f(x)＝sin2x＋2cos2eq\f(x,2)，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为
A．0B．－9C．9D．1
5．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列{an}的通项公式an＝__________．
6．已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足aeq\o\al(2,n)＝S2n－1(n∈N*)．若不等式eq\f(λ,an＋1)≤eq\f(n＋8·（－1）n,n)对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为__________．
7．设数列{an}各项均为正数，且满足{an}，an＋1＝an－aeq\o\al(2,n).
(1)证明：对一切n≥2，都有an≤eq\f(1,n＋2)；
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，证明：当n≥2时，有S2n－Sn－1＜ln2.

8．已知函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，数列{an}满足an＋1＝2f(an－1)＋1，且a1＝3，an>1.
(1)设bn＝log2(an－1)，证明：数列{bn＋1}为等比数列；
(2)设cn＝nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.

9．已知函数f(x)＝lnx＋cosx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,π)－\f(9,2)))x的导数为f′(x)，且数列{an}满足an＋1＋an＝nf′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＋3(n∈N*)．
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)若对任意n∈N*，都有an＋2n2≥0成立，求a1的取值范围．

第36讲数列模型及数列的综合应用
【考点集训】
1．A2.B3.D4.C5.n·2n6.－21
7．【解析】(1)∵数列{an}各项均为正数，且满足an＋1＝an－aeq\o\al(2,n)，
∴a2＝a1－aeq\o\al(2,1)＞0，解得0＜a1＜1，
当n＝2时，a3＝a2－aeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(1,4)，不等式成立，
假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即ak≤eq\f(1,k＋2)，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak－aeq\o\al(2,k)＝eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak－\f(1,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋2)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(k＋1,（k＋2）2)＜eq\f(k＋1,（k＋1）（k＋3）)＝eq\f(1,（k＋2）＋1)，
∴当n＝k＋1时，不等式也成立，
由数学归纳法知，对一切n≥2，都有an≤eq\f(1,n＋2).
(2)设f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(x,x＋1)，x＞0，
则f′(x)＝eq\f(1,x＋1)－eq\f(1,（x＋1）2)＝eq\f(x,（x＋1）2)＞0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)＞f(0)＝0，
即ln(x＋1)＞eq\f(x,x＋1)，
令x＝eq\f(1,n＋1)，代入上式，得eq\f