高中数学 第2章 数列 2.1.2 数列的递推公式(选学)学案 新人教B版必修5-新人教B版高一必修5数学学案.doc

2.1.2数列的递推公式(选学)

1.理解递推公式的含义.重点
2.掌握递推公式的应用.难点
3.会求数列中的最大小项.易错点

[基础·初探]
教材整理数列的递推公式
阅读教材P29～P30，完成下列问题.
1.数列递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前几项)；
②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.
2.数列递推公式与通项公式的关系
递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
1.下列说法中正确的有________.(填序号)
①根据通项公式可以求出数列的任意一项；
②有些数列可能不存在最大项；
③递推公式是表示数列的一种方法；
④所有的数列都有递推公式.
【解析】①正确.只需将项数n代入即可求得任意项.
②正确.对于无穷递增数列，是不存在最大项的.
③正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法.
④错误.不是所有的数列都有递推公式.例如eq\r(2)精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，…就没有递推公式.
【答案】①②③
2.已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5＝________.
【解析】因为a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，所以a2＝3，a3＝7，a4＝15，所以a5＝2a4＋1＝31.
【答案】31
3.已知非零数列{an}的递推公式为a1＝1，an＝eq\f(n,n－1)·an－1(n>1)，则a4＝________.
【解析】依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝eq\f(3,2)a2＝3；当n＝4时，a4＝eq\f(4,3)a3＝4.
【答案】4
4.已知数列{an}中，a1＝－eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，则a5＝______________.
【解析】因为a1＝－eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，
所以a2＝1－eq\f(1,a1)＝1＋2＝3，
a3＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，a4＝1－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)，a5＝1＋2＝3.
【答案】3

[小组合作型]
由递推关系写数列的项(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2016＝2，则a2015等于()
A.－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)
C.－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)
(2)已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，则a5＝________.
【精彩点拨】结合已知项逐步代入递推公式求解.
【自主解答】(1)由anan＋1＝1－an＋1，
得an＋1＝eq\f(1,an＋1)，
又∵a2016＝2，
∴a2015＝－eq\f(1,2)，故选C.
(2)由题知a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，
∴a5＝a4＋a3＝8.
【答案】(1)C(2)8

由递推公式写出数列的项的方法：
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝eq\f(an－1,2).

[再练一题]
1.已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝eq\f(2an,an＋2)给出，试写出这个数列的前5项.
【导学号：18082018】
【解】∵a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，
∴a2＝eq\f(2a1,a1＋2)＝eq\f(2,3)，
a3＝eq\f(2a2,a2＋2)＝eq\f(2×\f(2,3),\f(2,3)＋2)＝eq\f(1,2)，
a4＝eq\f(2a3,a3＋2)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋2)＝eq\f(2,5)，
a5＝eq\f(2a4,a4＋2)＝eq\f(2×\f(2,5),\f(2,5)＋2)＝eq\f(1,3).
故该数列的前5项为1，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(2,5)