高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的递推公式（选学）学案 新人教B版必修5-新人教B版高一必修5数学学案.doc

2.1.2数列的递推公式(选学)学习目标1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．知识点一递推公式思考下图形象地用小正方形个数给出数列{an}的前4项：那么a2＝a1＋______a3＝a2＋______a4＝a3＋____.由此猜想an＝an－1＋______.梳理思考中的数列{an}可由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1an＝an－1＋nn≥2))完全确定．一般地如果已知数列的__________(或前几项)且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的______________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．知识点二递推公式与通项公式的比较思考(1)已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2an＋1＝an＋2n∈N＋))求a4；(2)已知an＝2n求a4.梳理通项公式和递推公式都是给出数列的方法．已知数列的通项公式可以直接求出任意一项；已知递推公式要求某一项则必须依次求出该项前面所有的项．类型一由数列前若干项归纳递推公式例1已知数列{an}的前4项依次是：13314967试猜想an＋1与an的关系．反思与感悟递推公式是反映数列相邻两项(或几项)间的关系的所以寻找数列的递推关系也常从数列相邻项有何变化着手常考虑的变化有：数列是递增不是递减若递增增幅有什么规律．跟踪训练1已知数列{an}中a1＝1a2＝3a3＝7a4＝15试猜想{an}的递推公式．类型二数列的递推公式的应用命题角度1由递推公式求前若干项例2设数列{an}满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1an＝1＋\f(1an－1)n>1n∈N＋.))写出这个数列的前5项．引申探究数列{an}满足a1＝2an＋1＝eq\f(1＋an1－an)求a2016.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)才可依次求得其他的项．若项数很大则应考虑数列是否有规律性．跟踪训练2在数列{an}中已知a1＝2a2＝3an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)写出此数列的前6项．命题角度2由递推公式求通项例3(1)对于任意数列{an}等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2n∈N＋)都成立．试根据这一结论完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1an＋1－an＝2求通项an；(2)若数列{an}中各项均不为零则有a1·eq\f(a2a1)·eq\f(a3a2)·…·eq\f(anan－1)＝an(n≥2n∈N＋)成立．试根据这一结论完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1eq\f(anan－1)＝eq\f(n－1n)(n≥2n∈N＋)求通项an.反思与感悟形如an＋1－an＝f(n)的递推公式可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2n∈N＋)求通项公式；形如eq\f(an＋1an)＝f(n)的递推公式可以利用a1·eq\f(a2a1)·eq\f(a3a2)·…·eq\f(anan－1)＝an(n≥2n∈N＋)求通项公式．跟踪训练3已知数列{an}中a1＝1a2＝2an＋2＝an＋1－an试写出a3a4a5a6a7a8你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2016项？1．数列1361015…的递推公式是()A．an＋1＝an＋nn∈N＋B．an＝an－1＋nn∈N＋n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)n∈N＋D．an＝an－1＋(n－1)n∈N＋n≥22．已知数列{an}满足a1＝2an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)则此数列的通项an等于()A．n2＋1B．n＋1C．1－nD．3－n3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．1．{an}与an是不同的两种表示{an}表示数列a1a2…an…是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系即an是n的函数知道任意一个具体的n值就可以求出该项的值an；