高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列 2.1.2 数列的递推公式（选学）学案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学学案.doc

2．1.1数列2．1.2数列的递推公式(选学)
1.理解数列及其有关概念．2.掌握数列的几种简单表示法．
3．理解数列的性质，能借助函数的观点研究数列．

1．数列的有关概念
(1)数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．
(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….
(3)通项及表示：
数列的一般形式可以写成
a1，a2，a3，…，an，….
其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．
常把一般形式的数列简记作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an)).
2．数列的通项公式
(1)数列的通项公式
如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)数列与函数
①数列与函数的内在联系
从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，…，n)))的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．
②数列的表示方法
a．图象法；b.列表法；c.通项公式法．
3．数列的分类
(1)按项的个数分类

类别含义有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列(2)按项的变化趋势分类

类别含义递增数列从第二项起，每一项大于它的前一项的数列递减数列从第二项起，每一项小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列
4．递推公式的概念(选学)
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()
A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…
D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)
答案：C
2．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an对所有正整数n都成立，则a10等于()
A．34 B．55
C．89 D．100
解析：选B.由递推公式求出数列的前10项是a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，a8＝21，a9＝34，a10＝55.
3．数列1，2，3，4，5，6与数列6，5，4，3，2，1是同一个数列吗？
解：不是．因为数列中的数是有先后顺序的．它们虽所含数相同但顺序不同，不表示同一个数列．
4．每一个数列都有通项公式吗？
解：不是．正如不是所有的函数关系都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如eq\r(2)的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式．

观察、归纳数列的通项公式
写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数．
(1)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；
(2)1，－3，5，－7，9，…；
(3)9，99，999，9999，….

【解】(1)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，所以，它的一个通项公式为an＝eq\f(n2,2)，n∈N＋.
(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)，n∈N＋.
(3)各项加1后，变为10，100，1000，10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋.

eq\a\vs4\al()
用观察法求数列的通项公式的方法
(1)统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式．
(3)对于符号交替出现的情况，可观察其绝对值，再以(－1)n(n∈N＋)处理符号．
写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，3，5，7；
(2)－eq\f(2,3)，－eq\f(4,15)，－eq\f(6,35)，－eq\f(8,63)；
(