高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的递推公式（选学）学案（含解析）新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学学案.docx

2.1.2数列的递推公式(选学)学习目标1.理解数列的几种表示方法能选择适当的方法表示数列.2.理解递推公式的含义能根据递推公式求出数列的前几项.3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式.知识点一递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式叫做这个数列的递推公式.特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样并不是所有的数列都有递推公式.(2)递推公式也是表示数列的一种重要方法它和通项公式一样都是关于项数n的恒等式.(3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项直至求出数列的任何一项和所需的项.知识点二递推公式与通项公式的比较通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式可以直接求出任意一项；已知递推公式要求某一项则必须依次求出该项前面所有的项.思考(1)已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2an＋1＝an＋2n∈N＋))求a4；(2)已知an＝2n求a4.答案(1)a2＝a1＋2＝4a3＝a2＋2＝6a4＝a3＋2＝8；(2)a4＝2×4＝8.1.数列{an}中若an＋1＝2ann∈N＋则a2＝2a1.(√)2.利用an＋1＝2ann∈N＋可以确定数列{an}.(×)3.an＝n与y＝x的图象是相同的.(×)4.有些数列难以用通项公式和递推公式表示但可以用列表法轻松表示.(√)题型一由数列前若干项归纳递推公式例1图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形在四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项请写出这个数列的递推公式和一个通项公式.解如题图这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍第(3)个是第(2)个的3倍故有递推公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1an＋1＝3ann∈N＋))个数依次为13927.则所求数列的前4项都是3的指数幂指数为序号减1.所以这个数列的一个通项公式是an＝3n-1n∈N＋.反思感悟求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系求通项公式注重观察项与序号的关系图象法则一如既往地直观.跟踪训练1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如他们将石子摆成如图所示的三角形点阵就将其所对应石子的个数称为三角形数则第n个三角形数比第n－1(n≥2n∈N＋)个三角形数多________个石子.答案n解析∵a2－a1＝2a3－a2＝3…∴an－an－1＝n.题型二数列的递推公式命题角度1由递推公式求前若干项例2设数列{an}满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1an＝1＋\f(1an－1)n>1n∈N＋.))写出这个数列的前5项.解由题意可知a1＝1a2＝1＋eq\f(1a1)＝2a3＝1＋eq\f(1a2)＝eq\f(32)a4＝1＋eq\f(1a3)＝eq\f(53)a5＝1＋eq\f(1a4)＝1＋eq\f(35)＝eq\f(85).引申探究若数列{an}满足a1＝2an＋1＝eq\f(1＋an1－an)n∈N＋求a2019.解a2＝eq\f(1＋a11－a1)＝eq\f(1＋21－2)＝－3a3＝eq\f(1＋a21－a2)＝eq\f(1－31＋3)＝－eq\f(12)a4＝eq\f(1＋a31－a3)＝eq\f(1－\f(12)1＋\f(12))＝eq\f(13)a5＝eq\f(1＋a41－a4)＝eq\f(1＋\f(13)1－\f(13))＝2＝a1∴{an}是周期为4的数列∴a2019＝a4×504＋3＝a3＝－eq\f(12).反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)才可依次求得其他的项.若项数很大则应考虑数列是否具有规律.跟踪训练2已知数列{an}中a1＝1a2＝2an＋2＝an＋1－ann∈N＋试写出a3a4a5a6a7a8你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2019项？解a1＝1a2＝2a3＝1a4＝－1a5＝－2a6＝－1a7＝1a8＝2….发现：an＋6＝an数列{an}具有周期性周期T＝6.证明如下：∵an＋2＝an＋1－an∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.∴