二阶线性偏微分方程的分类与小结.docx

第六章二阶线性偏微分方程的分类与小结
一两个自变量的二阶线性方程
1方程变换与特征方程
两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成
SKIPIF1<0=1\*GB3①
它关于未知函数SKIPIF1<0及其一、二阶偏导数都是线性的，其中SKIPIF1<0都是自变量SKIPIF1<0的已知函数，假设它们的一阶偏导数在某平面区域SKIPIF1<0内都连续，而且SKIPIF1<0不全为0。
设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内给定的一点，考虑在SKIPIF1<0的领域内对方程进行简化。取自变量变换
SKIPIF1<0,SKIPIF1<0
其中它们具有二连续偏导数，而且在SKIPIF1<0处的雅可比行列式。
SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0
根据隐函数存在定理，在SKIPIF1<0领域内存在逆变换,
SKIPIF1<0,SKIPIF1<0
因为
SKIPIF1<0，SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
将代入=1\*GB3①使其变为
SKIPIF1<0
经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以SKIPIF1<0不全为0。并可验证
SKIPIF1<0
这表明，在可逆变换下SKIPIF1<0与SKIPIF1<0保持相同的正负号。
定理在SKIPIF1<0的领域内，不为常数的函数SKIPIF1<0是偏微分方程SKIPIF1<0之解的充分必要条件是：SKIPIF1<0是常微分方程的
SKIPIF1<0
通解。
2方程的类型及其标准形式
根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程：
SKIPIF1<0，SKIPIF1<0
若在SKIPIF1<0的邻域内SKIPIF1<0时，方程可以化为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，该式称为双曲线方程的标准形式，其中SKIPIF1<0是自变量SKIPIF1<0的已知函数。
若SKIPIF1<0的邻域内SKIPIF1<0时，可将方程简化成SKIPIF1<0，该式称为抛物型方程的标准形式，其中SKIPIF1<0是自变量SKIPIF1<0的已知函数。
若SKIPIF1<0的邻域内SKIPIF1<0时，可将方程简化成SKIPIF1<0，该式称为椭圆型方程的标准形式，其中SKIPIF1<0是自变量SKIPIF1<0的已知函数。
总之，根据SKIPIF1<0的正负号能将SKIPIF1<0SKIPIF1<0简化成三种标准形式。
定义若在区域SKIPIF1<0中SKIPIF1<0点处满足SKIPIF1<0(或是=0，或是<0)，则称方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0在该点SKIPIF1<0处是双曲线的(或是抛物型的，或是椭圆型的)。
二SKIPIF1<0个自变量的二阶线性方程
1方程的分类
SKIPIF1<0个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成
SKIPIF1<0=1\*GB3①
其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是自变量SKIPIF1<0的已知函数，假设它们在SKIPIF1<0维空间中某一区域SKIPIF1<0内连续，而且不全为0。
在区域SKIPIF1<0内某点SKIPIF1<0处，由二阶导数项的系数可构成相应的二次型
SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2\*GB3②
其中SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0阶对称矩阵。
定义2如果在点SKIPIF1<0的二次型=2\*GB3②为非退化且是不定的，即它恰有SKIPIF1<0个非零特征值，而且特征值的符号不全相同，则称方程=1\*GB3①在点SKIPIF1<0是双曲线型。如果其中SKIPIF1<0个非零特征值同号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点SKIPIF1<0是狭义双曲线型的。如果其中不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点SKIPIF1<0是超双曲线型的。
定义3如果在点SKIPIF1<0的二次型=2\*GB3②为非退化的，即它至少有一个零特征值，则称方程=1\*GB3