二阶线性偏微分方程的分类与总结.ppt

§1二阶线性偏微分方程的分类在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深入的分类和总结。§1.1两个自变量的方程§1二阶线性偏微分方程的分类在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法)的学习中，我们已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手段，通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易求解的方程转化为容易求解的。
方程(4.1)的二阶导数项

称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主部可以得到简化。§1-2两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆的，也就是存在逆变换注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果我们能选择到方程我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在(x,y)平面上的积分曲线问题：这样根据的符号不同，我们可以选取相应的变换代入方程(4.6)，从而得到不同的化简形式由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线

的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应地定义方程在一点的类型如下：
若方程(4.1)的主部系数在区域Ω中某一点(x0，y0)满足如果方程在区域Ω中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域Ω中是双曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在区域Ω中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域Ω中称为混合型的。
举例：
容易看出，如果点(x0，y0)上方程(4.1)表现为双曲型或椭圆型，那么一定存在该点的一个领域，使方程在这个领域内是双曲型或椭圆型的。但如果这个点上方程(4.1)表现为抛物型，则不一定存在一个领域，使方程在这个领域内表现为抛物型。
按照刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的，一维热传导方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。前面我们已经知道，以上三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。这也从侧面说明了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。
例如，空气动力学中，对于定常Euler方程而言，它在亚音速流动中表现为椭圆型方程，在超音速流动中表现为双曲型，在跨音速流动中表现为混合型。而对于非定常Euler方程而言，它始终表现为双曲型。例题：把方程练习题：例1、2，P100~101；
习题2、3，P102~103。§1.1线性方程的叠加原理现在我们以前面各章对三类典型方程的研究为基础，就双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程这三种不同类型的方程的解的性质、定解问题的提法等方面进行分析和总结。我们将看到：这三类方程在其系数的代数性质上的差别实际上反映着许多本质的差异。§3三类方程的比较（以热传导方程为例）叠加原理II叠加原理III叠加原理IV三类典型方程在数学性质上的差异往往是相应的物理现象的本质差异在数学上的表现。下面我们以三类典型方程(波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程)为例来叙述其差别。对于一般的变系数方程，情况更复杂一些，但类似结论仍然成立。1）解的光滑性
对于不同类型的方程来说，解的光滑性可以很不相同。对于弦振动方程来说，如果初始条件中高阶的导数不存在，那么解的高阶导数也就不存在；对于热传导方程，只要初始条件是有界的，那么其解是无穷可微的；对于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定义域内都是解析函数。
课本上从物理角度对上述解的光滑性差异进行了解释。下面的图形形象地反映了不同类型方程的解的光滑性。2）解的极值性质
热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理，但它们所采取的形式是有区别的。拉普拉斯方程解的极值只可能存在于边界。至于热传导方程，区域内部的最大值不能超过区域初始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原理，这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。3）影响区和依赖区
从影响区和依赖区来看，三类方程也有很大区别。波动方程的扰动是以有限速度传播的，因而其影响区和依赖区是锥体状的。对热传导方程而言，其扰动传播进行的十分迅速，某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面，依赖区是整个初始值区间。拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态，因此不存在扰动传播的问题。4）关于时间的反演
一物理状态的变化是否可逆，在数学上反映为所归结出来的方程关于时间变量是否是对称的