二阶线性偏微分方程的分类与小结.doc

第六章二阶线性偏微分方程的分类与小结
一两个自变量的二阶线性方程
1方程变换与特征方程
两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成
=1\*GB3①
它关于未知函数及其一、二阶偏导数都是线性的，其中都是自变量的已知函数，假设它们的一阶偏导数在某平面区域内都连续，而且不全为0。
设是内给定的一点，考虑在的领域内对方程进行简化。取自变量变换
,
其中它们具有二连续偏导数，而且在处的雅可比行列式。
=
根据隐函数存在定理，在领域内存在逆变换,
,
因为
，

将代入=1\*GB3①使其变为

经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以不全为0。并可验证

这表明，在可逆变换下与保持相同的正负号。
定理在的领域内，不为常数的函数是偏微分方程之解的充分必要条件是：是常微分方程的

通解。
2方程的类型及其标准形式
根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程：
，
若在的邻域内时，方程可以化为，该式称为双曲线方程的标准形式，其中是自变量的已知函数。
若的邻域内时，可将方程简化成，该式称为抛物型方程的标准形式，其中是自变量的已知函数。
若的邻域内时，可将方程简化成，该式称为椭圆型方程的标准形式，其中是自变量的已知函数。
总之，根据的正负号能将简化成三种标准形式。
定义若在区域中点处满足(或是=0，或是<0)，则称方程在该点处是双曲线的(或是抛物型的，或是椭圆型的)。
二个自变量的二阶线性方程
1方程的分类
个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成
=1\*GB3①
其中，，，都是自变量的已知函数，假设它们在维空间中某一区域内连续，而且不全为0。
在区域内某点处，由二阶导数项的系数可构成相应的二次型
===2\*GB3②
其中，而是阶对称矩阵。
定义2如果在点的二次型=2\*GB3②为非退化且是不定的，即它恰有个非零特征值，而且特征值的符号不全相同，则称方程=1\*GB3①在点是双曲线型。如果其中个非零特征值同号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点是狭义双曲线型的。如果其中不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点是超双曲线型的。
定义3如果在点的二次型=2\*GB3②为非退化的，即它至少有一个零特征值，则称方程=1\*GB3①在点是抛物型。如果只有一个零特征值，而另外个非零特征值同号，则称方程在点是狭义抛物型的。如果是其它有零特征值的情形，则称方程在点是广义抛物型的。
定义4如果在点的二次型=2\*GB3②为正定或负定的，即它恰有个同号的非零特征值，则称方程在点是椭圆型的。
2方程的简化
当方程=1\*GB3①中二阶偏导数项的系数全是常数时，相应的二次型=2\*GB3②是常系数实二次型。根据线性代数的理论，运用配方法或者正交变换法，总可找到一个可逆线性变换，即

其中是可逆矩阵，将二次型化成标准形，即
===
==
其中=，而且=1或-1或0。
可取转置矩阵构造自变量可逆线性变换，即
，
就能将在区域内方程=1\*GB3①简化为
+。
三小结
前面各章的各种定解问题具有的一个共同的特点――偏微分方程与定解条件关于未知函数及其导数都是线性的，称这些业解问题都是线性问题。线性问题普遍成立有叠加原理。叠加原理是前面各章介绍的各种方法的基础。
另一方面，二阶偏微分方程可以分成双曲线型、抛物型和椭圆型，由于它们描述了物理与工程技术中不同的自然现象，所以，它们不仅在二阶偏导数项系数的代数方面有差异，而且在定解条件与性态方程有本质区别。常系数齐次波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程分别是三类方程的典型代表。
为了使定解问题能反映实际现象的客观规律，而且符合数学上适定性的要求，对于不同类型的偏微分方程，需要给予足够、恰当的定解条件。
另外，定解条件是否保证定解问题是适定的，还与解的含义有关。