高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 1 逆矩阵的概念学业分层测评 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4-2数学试题.doc

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵1逆矩阵的概念学业分层测评苏教版选修4-2
学业达标]
1.已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转eq\f(π,4)，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵.
【解】这个变换的逆变换是作关于x轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转eq\f(π,4)变换，其矩阵
eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos（－\f(π,4)）－sin（－\f(π,4)）,sin（－\f(π,4)）cos（－\f(π,4)）))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2),－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2))).
2.求矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,11))的逆矩阵.

【导学号：30650038】
【解】法一待定矩阵法：设矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,11))的逆矩阵为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xy,zw))，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,11))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xy,zw))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，
即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(zw,x＋zy＋w))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z＝1，,w＝0，,x＋z＝0，,y＋w＝1，))
解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，,z＝1，,w＝0，))
故所求逆矩阵为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－11,10)).
法二A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,11))中，0×1－1×1＝－1≠0，
∴A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,－1)\f(－1,－1),\f(－1,－1)\f(0,－1)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－11,10)).
3.已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,12))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－11))，求证B是A的逆矩阵.
【证明】因为A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,12))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－11))，
所以AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,12))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－11))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，
BA＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－11))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,12))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，
所以B是A的逆矩阵.
4.已知M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,01))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,2)))，求矩阵MN的逆矩阵.
【解】因为M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,01))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,2)))，
所以MN＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,0\f(1,2))).
设矩阵MN的逆矩阵为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,0\f(1,2)))eq\b\lc