高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵章末综合检测 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4-2数学试题.doc

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵章末综合检测苏教版选修4-2
1.求下列矩阵的逆矩阵.
(1)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,23))；(2)B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,45)).
【解】法一(1)∵|A|＝1×3－2＝1，
∴A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－1,－21)).
(2)∵2×5－4×3＝－2，
∴B－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)\f(3,2),2－1)).
法二(1)设A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，则AA－1＝E，
即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,23))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋cb＋d,2a＋3c2b＋3d))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，
∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝1，,b＋d＝0，,2a＋3c＝0，,2b＋3d＝1.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1，,c＝－2，,d＝1.))∴A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－1,－21)).
同理求出B－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)\f(3,2),2－1)).
2.试从代数和几何角度分别求矩阵的乘积eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))的逆矩阵.

【导学号：30650046】
【解】代数角度：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,10))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(21,10))＝－1，∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,10))eq\s\up12(－1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,1－2))，
∴(eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10)))－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,1－2)).
几何角度：矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))对应的变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即(x，y)→(x＋2y，y)，又切变变换的逆变换为切变变换.
∴该切变变换的逆变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例减小，即(x，y)→(x－2y，y)，故eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))eq\s\up12(－1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2,01)).矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))对应的变换为关于直线y＝x的反射变换，其逆变换为其本身，
故eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))eq\s\up12(－1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10)).
∴(eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10)))－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))eq\s\up12(－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))eq\s\up12(－1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2,01))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,1－2))