【优化指导】2013高考数学总复习 12.4导数及其运算课时演练 人教版.doc

【优化指导】2013高考数学总复习12.4导数及其运算课时演练人教版
1．设函数f(x)＝eq\f(sinθ,3)x3＋eq\f(\r(3)cosθ,2)x2＋tanθ，其中θ∈[0，eq\f(5π,12)]，则导数f′(1)的取值范围是()
A．[－2,2] B．[eq\r(2)，eq\r(3)]
C．[eq\r(3)，2] D．[eq\r(2)，2]
2．若曲线y＝x－eq\f(1,2)在点(a，a－eq\f(1,2))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()
A．64 B．32
C．16 D．8
解析：∵y＝x－eq\f(1,2)，y′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)，∴k切＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)，切线方程为y－a－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)(x－a)．令y＝0，得x＝3a.令x＝0，得y＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)，∵S＝eq\f(1,2)xy，∴eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)＝18，故a＝64.
答案：A
3．若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
解析：∵f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)，
∴f′(x)＝－x＋eq\f(b,x＋2)，
又∵f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
即b≤x(x＋2)＝(x＋1)2－1在(－1，＋∞)上恒成立．
∵x∈(－1，＋∞)时，x(x＋2)＝(x＋1)2－1>－1，
∴b≤－1，故选C.
答案：C
4．抛物线x2＝ay(a＞0)的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒eq\f(π,12)弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由已知P(0，－eq\f(a,4))，y′＝eq\f(2,a)x，
设绕点P旋转的直线l与抛物线第一次相切的切点为
M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝eq\f(2,a)x0，
切线方程为y－y0＝eq\f(2,a)x0(x－x0)，
即y＝eq\f(2,a)x0x－eq\f(1,a)xeq\o\al(2,0)，
由题意－eq\f(1,a)xeq\o\al(2,0)＝－eq\f(a,4)，解得x0＝eq\f(a,2)，
∴y′|x＝x0＝y′|x＝eq\f(a,2)＝1，
∴切线的倾斜角为eq\f(π,4)，∴t＝3，故选C.
答案：C
5．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq\f(3,2)，则切点的横坐标为()
A．－eq\f(ln2,2) B．－ln2
C.eq\f(ln2,2) D．ln2
解析：因为f′(x)是奇函数，所以f′(x)满足f′(－x)＝－f′(x)，又f′(x)＝ex－a·e－x，故易得a＝1，又曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq\f(3,2)，则ex－e－x＝eq\f(3,2)，解得x＝ln2.
答案：D
6．若函数f(x)＝excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为()
A．0 B．锐角
C．直角 D．钝角
解析：由已知得：f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．
∴f′(1)＝e(cos1－sin1)．
∵eq\f(π,2)>1>eq\f(π,4).
而由正余弦函数性质可得cos1<sin1.∴f′(1)<0.
即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0.
∴切线倾斜角是钝角．
答案：D
7．已知函数f(x)中，f′(1)＝2，则eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δx→0))eq\f(f1－2Δx－f1,Δx)＝
______.
解析：eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δx→0))eq\f(f1－2Δx－f1,Δx)
＝－eq\o(2lim,\s\up6(),\s\do8(－2Δx→0))eq\f(f[1＋－2Δx]－f1,－2Δx)＝