核按钮（新课标）高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用（二）习题 理-人教版高三全册数学试题.doc

§3.3导数的应用(二)

1．当f′(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝，当x≠0时，f′(x)＞0，而f(x)＝x3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．
2．可导函数求最值的方法
f′(x)＝0⇒x＝x1，x2，…，xn，x∈[a，b]．
直接比较f(a)，f(b)，f(x1)，…，f(xn)，找出__________和____________即可．在此基础上还应注意：
(1)结合____________可减少比较次数．
(2)含参数的函数求最值时分类：
①按____________分类；
②按____________分类．
3．实际问题中的导数，常见的有以下几种情形：
(1)加速度是速度关于________的导数；
(2)线密度是质量关于________的导数；
(3)功率是功关于________的导数；
(4)瞬时电流是电荷量关于________的导数；
(5)水流的瞬时速度是流过的水量关于________的导数；
(6)边际成本是成本关于________的导数．
4．N型曲线与直线y＝k的位置关系问题
如图，方程f(x)＝0有三个根x1，x2，x3时，极大值f(a)＞0且极小值f(b)＜0.

曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有一个交点时，见图中的直线①或直线②，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直线④，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤.
以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．
自查自纠
1．0
2．最小值最大值(1)单调性(2)单调性极值点
3．(1)时间(2)长度(3)时间(4)时间(5)时间
(6)产量
4．＜＞＝＝

(eq\a\vs4\al(2015·厦门模拟))函数f(x)＝xlnx，则f(x)()
A．在(0，＋∞)上单调递增
B．在(0，＋∞)上单调递减
C．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上单调递增
D．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上单调递减
解：因为函数f(x)＝xlnx，所以f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)>0，解得x>eq\f(1,e)，则函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))；令f′(x)<0，解得0<x<eq\f(1,e)，则函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))).故选D.
已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为()
A．a<－1或a>2 B．－3<a<6
C．－1<a<2 D．a<－3或a>6
解：由已知得：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0在R上有两个不相等的实根，所以Δ＝(2a)2－12(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.故选D.
若函数f(x)＝a(x3－x)的递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，则实数a的取值范围是()
A．(0，＋∞) B．(－1，0)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
解：∵f′(x)＝a(3x2－1)＝3aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(3),3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),3)))，∴当－eq\f(\r(3),3)＜x＜eq\f(\r(3),3)时，要使f′(x)＜0，必须有a＞0.故选A.
已知f(x)＝sinx＋2x，x∈R，且f(2a)＜f(a－1)，则实数a的取值范围是________．
解：∵f′(x)＝cosx＋2＞0恒成立，∴f(x)在R上单调递增．∵f(2a)＜f(a－1)，∴2a＜a－1，得a＜－1.故填(－∞，－1)．
已知函数f(x)＝ax2＋x－xlnx在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解：由题意知：f′(x)＝2ax＋1－(lnx＋1)≥0，即a≥eq\f(lnx,2x)在[1，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝eq\f(lnx,2x)，令g′(x)＝