核按钮（新课标）高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算习题 理-人教版高三全册数学试题.doc

§3.1导数的概念及运算

1．导数的概念
(1)定义
如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值eq\f(Δy,Δx)就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).如果当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作或y′，即f′(x0)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).
(2)导函数
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limeq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
(3)用定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法
①求函数的增量Δy＝；
②求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝；
③取极限，得导数f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应的切线方程为．
3．基本初等函数的导数公式
(1)c′＝(c为常数)，
(xα)′＝(α∈Q*)；
(2)(sinx)′＝____________，
(cosx)′＝____________；
(3)(lnx)′＝____________，
(logax)′＝____________；
(4)(ex)′＝____________，
(ax)′＝____________.
4．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________.
(2)[f(x)g(x)]′＝____________________；
当g(x)＝c(c为常数)时，即[cf(x)]′＝____________.
(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(,))(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为______________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
自查自纠
1．(1)可导f′(x0)
(3)①f(x0＋Δx)－f(x0)②eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)
2．f′(x0)y－y0＝f′(x0)(x－x0)
3．(1)0αxα－1(2)cosx－sinx(3)eq\f(1,x)eq\f(1,xlna)
(4)exaxlna
4．(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)
(3)eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)
5．yx′＝y′u·u′x

(eq\a\vs4\al(2015·天津))已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为()
A．1 B．2 C．3 D．4
解：f′(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋x·\f(1,x)))＝a(lnx＋1)，∴f′(1)＝a＝3.故选C.
(eq\a\vs4\al(2015·陕西))函数y＝xex在其极值点处的切线方程为()
A．y＝ex B．y＝(1＋e)x
C．y＝eq\f(1,e) D．y＝－eq\f(1,e)
解：记y＝f(x)＝xex，则f′(x)＝(1＋x)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，此时f(－1)＝－eq\f(1,e).故函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－eq\f(1,e).故选D.
(eq\a\vs4\al(2014·江西))若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是()
A．(－ln2，2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln2，\f(1,2)))
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,e2))) D．(0，1)
解：设点P的坐标为(