核按钮（新课标）高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用（一）习题 理-人教版高三全册数学试题.doc

§3.2导数的应用(一)

1．函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内____________；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内____________；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是________．
2．函数的极值与导数
(1)判断f(x0)是极大值，还是极小值的方法：
一般地，当f′(x0)＝0时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤：
①求f′(x)；
②求方程的根；
③检查f′(x)在上述根的左右对应函数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得．
3．函数的最值与导数
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则__________为函数在[a，b]上的最小值，为函数在[a，b]上的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数在[a，b]上的最大值，________为函数在[a，b]上的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与端点处的函数值______，______进行比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．

自查自纠
1．单调递增单调递减常数函数
2．(1)②f′(x)＜0f′(x)＞0
(2)②f′(x)＝0③极大值极小值
3．(2)f(a)f(b)f(a)f(b)
(3)②f(a)f(b)最大值最小值

关于函数的极值，下列说法正确的是()
A．导数为0的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
解：导数为0的点不一定是极值点(如y＝x3，在x＝0处)，而极值点的导数一定为0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值．极值点是单调性的转折点．故选D.
(eq\a\vs4\al(2015·北京海淀区模拟))函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是()
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，1)
解：∵f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝eq\f(2（x＋1）（x－1）,x)(x＞0)．
∴当x∈(0，1)时f′(x)＜0，f(x)为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．故选A.
设函数f(x)＝2xex－1，则()
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
解：求导得f′(x)＝2ex＋2xex＝2ex(x＋1)，令f′(x)＝2ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．故选D.
已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．
解：f′(x)＝3x2－a，令3x2－a≥0，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，得a≤3，即a的最大值是3.故填3.
函数f(x)＝x＋2cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最大值是________．
解：f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)＝0得sinx＝eq\f(1,2)，从而x＝eq\f(π,6)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝eq\f(π,6)处取得极大值，即最大值eq\f(π,6)＋eq\r(3).故填eq\f(π,6)＋eq\r(3).

类型一导数法判断函数的单调性
已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是()

解：由题意得函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则其导函数在(0，＋∞)上恒小于0，排除B，D；又∵函数y＝f(x)在(－∞，0)上先单调递增，后单调递减，再单调递增，则其导函数在